Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores de máximo e mínimo de
restrita à curva dada por
. Em que pontos tais valores são atingidos?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximos e mínimos da função
considerando a restrição
. Basicamente, vamos encontrar os pontos onde a função atinge seus extremos nessa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os extremos de uma função
sujeita a uma restrição
. A ideia é que, nos pontos de extremo, o gradiente de
é proporcional ao gradiente de
. Ou seja:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos identificar nossas funções:
Agora, calculamos os gradientes:
Passo 4
Aplicando a condição dos multiplicadores de Lagrange:
Isso dá as seguintes equações:
Passo 5
Vamos analisar a equação (1):
Se
, podemos dividir ambos os lados por
:
Mas se
, a equação (1) nos dá
, o que não nos informa nada. Então, vamos considerar os dois casos:
- Caso 1:
e - Caso 2:
Passo 6
Caso 1:
Substituindo
na equação (2):
Agora, usamos a restrição (3):
Substituindo
:
Então, temos:
Na verdade, ao substituir
,
, então:
Passo 7
Caso 2:
Usando a restrição (3):
Então, os pontos são
e
.
Passo 8
Agora, vamos calcular os valores de
nos pontos encontrados:
-
: -
: -
: -
:
Resposta
Os valores extremos da função
restrita à curva
são:
- Máximo:
no ponto - Mínimo:
no ponto
Os demais pontos
e
correspondem a valores de
iguais a zero, que não são extremos.