Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores de máximo e mínimo de f(x, y)=x^2 y restrita à curva dada por x^2+y^2=3. Em que pontos tais valores são atingidos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximos e mínimos da função considerando a restrição . Basicamente, vamos encontrar os pontos onde a função atinge seus extremos nessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os extremos de uma função nabla f = lambda nabla g sujeita a uma restrição . A ideia é que, nos pontos de extremo, o gradiente de é proporcional ao gradiente de . Ou seja:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos identificar nossas funções:
f(x, y) = x^2 y
g(x, y) = x^2 + y^2 - 3 = 0
Agora, calculamos os gradientes:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = (2xy, x^2)
partial gpartial x = 2x e partial gpartial y = 2y
nabla g = (2x, 2y)

Passo 4

Aplicando a condição dos multiplicadores de Lagrange:
nabla f = lambda nabla g
Isso dá as seguintes equações:
2xy = lambda cdot 2x (1)
x^2 = lambda cdot 2y (2)
x^2 + y^2 = 3 (3)

Passo 5

Vamos analisar a equação (1):
2xy = 2lambda x
Se y = lambda , podemos dividir ambos os lados por :
Mas se , a equação (1) nos dá , o que não nos informa nada. Então, vamos considerar os dois casos:
  1. Caso 1: e
  2. Caso 2:

Passo 6

Caso 1: x^2 = 2y cdot y = 2y^2
Substituindo x^2 + y^2 = 3 na equação (2):
2y^2 + y^2 = 3 Rightarrow 3y^2 = 3 Rightarrow y^2 = 1 Rightarrow y = pm 1
Agora, usamos a restrição (3):
x^2 = 2(1) = 2 Rightarrow x = pm raiz2
Substituindo x^2 = 2(-1) = -2 (Não é possível, descartamos) :
x = pm raiz2, y = pm 1
Então, temos:
ãéí
Na verdade, ao substituir , , então:

Passo 7

Caso 2: 0 + y^2 = 3 Rightarrow y^2 = 3 Rightarrow y = pm raiz3
Usando a restrição (3):
Então, os pontos são e .

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores de nos pontos encontrados:
  1. :
  2. :
  3. :
  4. :

Resposta

Os valores extremos da função restrita à curva são:
  • Máximo: no ponto
  • Mínimo: no ponto
Os demais pontos e correspondem a valores de iguais a zero, que não são extremos.

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