Considere a função
f(x, y)=y^2x
No ponto (2,2) determine, se possível, um vetor unitário u tal que partial fpartial u(2,2)=2 raiz5. Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma função e precisa, no ponto , encontrar um vetor unitário tal que a derivada direcional de nessa direção seja . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais, gradiente e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de fx = partialpartial x(y^2x) = -y^2x^2 em relação a fy = partialpartial y(y^2x) = 2yx e nabla f(2, 2) = ( fx(2, 2), fy(2, 2) ) = ( -2^22^2, 2 cdot 22 ) = (-1, 2) .
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Agora, calculamos o gradiente de no ponto , que é o vetor das derivadas parciais nesse ponto:

Passo 3

A derivada direcional de partial fpartial u = nabla f cdot u = (-1) cdot ux + 2 cdot uy = -ux + 2uy na direção de um vetor unitário - ux + 2uy = 2raiz5 é dada pelo produto escalar do gradiente de com :
Queremos que essa derivada direcional seja igual a :

Passo 4

Sabemos que ux^2 + uy^2 = 1 é um vetor unitário, ou seja:
- ux + 2uy = 2raiz5 ux^2 + uy^2 = 1
Agora temos um sistema de duas equações:
ux = 2uy - 2raiz5
Vamos resolver a primeira equação para (2uy - 2raiz5)^2 + uy^2 = 1 4uy^2 - 8raiz5uy + 20 + uy^2 = 1 5uy^2 - 8raiz5uy + 19 = 0 :
uy = 8raiz5 pm raiz(8raiz5)^2 - 4 cdot 5 cdot 192 cdot 5 uy = 8raiz5 pm raiz320 - 38010 uy = 8raiz5 pm raiz-6010
Substituindo na segunda equação:
Vamos resolver essa equação quadrática para usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui percebemos que o discriminante é negativo ( ), o que significa que não existem soluções reais para . Portanto, não há um vetor unitário que satisfaça a condição dada.

Resposta

Não existe um vetor unitário no ponto tal que a derivada direcional de nessa direção seja .

Exercícios relacionados