Considere a função
No ponto
determine, se possível, um vetor unitário
tal que
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma função
e precisa, no ponto
, encontrar um vetor unitário
tal que a derivada direcional de
nessa direção seja
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais, gradiente e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Agora, calculamos o gradiente de
no ponto
, que é o vetor das derivadas parciais nesse ponto:
Passo 3
A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é dada pelo produto escalar do gradiente de
com
:
Queremos que essa derivada direcional seja igual a
:
Passo 4
Sabemos que
é um vetor unitário, ou seja:
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver a primeira equação para
:
Substituindo na segunda equação:
Vamos resolver essa equação quadrática para
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui percebemos que o discriminante é negativo (
), o que significa que não existem soluções reais para
. Portanto, não há um vetor unitário
que satisfaça a condição dada.
Resposta
Não existe um vetor unitário
no ponto
tal que a derivada direcional de
nessa direção seja
.