Ache os pontos críticos de f nos seguintes casos: f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 8y - xy

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos da função . Esse assunto está dentro de Cálculo Diferencial, especificamente trabalhando com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , igualá-las a zero e resolver o sistema que resulta dessas igualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função . As derivadas parciais mostram como a função muda quando uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
  • Derivada parcial de em relação a :
  • Derivada parcial de em relação a :

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente iguala essas derivadas a zero. Isso porque nos pontos críticos, a inclinação da função em todas as direções é zero.
Portanto, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .
  1. Da primeira equação:
  2. Substituímos na segunda equação:
  3. Agora, substituímos de volta na expressão para :

Resposta

O único ponto crítico da função é .

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