Um sólido geométrico é formado por um cilindro circular reto, de raio R e altura H , que tem acoplado a uma de suas extremidades uma semiesfera de raio R. Sabendo que a área lateral desse sólido é igual a 5 pi, obtenha o valor de R e de H para que o volume desse sólido geométrico seja máximo. Apresente todas as contas e justificativas associadas à solução do problema.
Sugestões: a área lateral de uma semiesfera de raio R é igual a 2 * pi * R^2; o volume de uma semiesfera de raio R é igual a (2/3) pi R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sólido formado por um cilindro com raio R e altura H, e em uma das extremidades desse cilindro tem uma semiesfera também de raio R. A área lateral total desse sólido é igual a . Nosso objetivo é encontrar os valores de R e H que fazem com que o volume desse sólido seja o máximo possível. Para resolver isso, vamos trabalhar com geometria sólida, usando fórmulas de áreas e volumes de cilindros e semiesferas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área lateral total do sólido. A área lateral de um cilindro é dada por:
E a área lateral de uma semiesfera é:
Então, a área lateral total do sólido é a soma dessas duas áreas:
Sabemos que essa área total é igual a , então:

Passo 3

Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por :
Vamos resolver para H em termos de R:

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume total do sólido. O volume é a soma do volume do cilindro com o da semiesfera:
Substituindo H pela expressão que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do volume:
Assim, temos uma função de volume em termos de R:

Passo 6

Para encontrar o valor de R que maximiza o volume, vamos derivar em relação a R e igualar a zero:
Resolvendo para R:

Passo 7

Agora que temos R, vamos encontrar H usando a expressão que obtivemos anteriormente:
Substituindo :
Porém, um H igual a zero significa que o cilindro desaparece, restando apenas a semiesfera. Isso sugere que, para maximizar o volume, a melhor configuração é ter apenas a semiesfera.

Resposta

Para que o volume do sólido seja máximo, o raio R deve ser e a altura H deve ser igual a zero, ou seja:

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