Calcule os seguintes limites: lim h 0(raiz[3]2(x+h)+3-raiz[3]2 x+3h);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite:
lim h 0(raiz[3]2(x+h)+3-raiz[3]2 x+3h)
Aqui estamos lidando com limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções quando as variáveis se aproximam de um valor específico. Vamos precisar usar algumas propriedades de radicais e manipulação algébrica para simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o que está dentro das raízes cúbicas:
2(x+h) + 3 = 2x + 2h + 3
Então, a expressão do limite fica:
lim h 0(raiz[3]2x + 2h + 3-raiz[3]2x+3h)

Passo 3

Para resolver esse limite, vamos usar uma técnica chamada racionalização, que ajuda a eliminar os radicais do numerador. Com raízes cúbicas, usamos a identidade:
a - b = a^3 - b^3a^2 + ab + b^2
Aqui, vamos considerar:
a = raiz[3]2x + 2h + 3 e b = raiz[3]2x + 3

Passo 4

Aplicando a identidade, temos:
raiz[3]2x + 2h + 3 - raiz[3]2x + 3 = (2x + 2h + 3) - (2x + 3)(raiz[3]2x + 2h + 3)^2 + raiz[3](2x + 2h + 3)(2x + 3) + (raiz[3]2x + 3)^2
Simplificando o numerador:
(2x + 2h + 3) - (2x + 3) = 2h
Então, a expressão fica:
2h(raiz[3]2x + 2h + 3)^2 + raiz[3](2x + 2h + 3)(2x + 3) + (raiz[3]2x + 3)^2

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão de volta no limite original:
lim h 0 2h(raiz[3]2x + 2h + 3)^2 + raiz[3](2x + 2h + 3)(2x + 3) + (raiz[3]2x + 3)^2
Podemos cancelar o lim h 0 2(raiz[3]2x + 2h + 3)^2 + raiz[3](2x + 2h + 3)(2x + 3) + (raiz[3]2x + 3)^2 do numerador e denominador:

Passo 6

Agora, vamos avaliar o limite quando 2(raiz[3]2x + 3)^2 + raiz[3](2x + 3)(2x + 3) + (raiz[3]2x + 3)^2 = 23 (raiz[3]2x + 3)^2 se aproxima de 0. Isso significa que se aproxima de . Portanto, as raízes cúbicas também se aproximam de .
Substituindo :

Resposta

lim h 0(raiz[3]2(x+h)+3-raiz[3]2 x+3h) = 23 (raiz[3]2x + 3)^2

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