Calcule os seguintes limites:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite:
Aqui estamos lidando com limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções quando as variáveis se aproximam de um valor específico. Vamos precisar usar algumas propriedades de radicais e manipulação algébrica para simplificar essa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o que está dentro das raízes cúbicas:
Então, a expressão do limite fica:
Passo 3
Para resolver esse limite, vamos usar uma técnica chamada racionalização, que ajuda a eliminar os radicais do numerador. Com raízes cúbicas, usamos a identidade:
Aqui, vamos considerar:
Passo 4
Aplicando a identidade, temos:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão de volta no limite original:
Podemos cancelar o
do numerador e denominador:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o limite quando
se aproxima de 0. Isso significa que
se aproxima de
. Portanto, as raízes cúbicas também se aproximam de
.
Substituindo
: