Ache os pontos da curva y=2 x^3+12 x^2-30 x+1 nos quais a reta tangente é horizontal.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos da curva y=2x^3+12x^2-30x+1 onde a reta tangente é horizontal. Vamos precisar calcular a derivada da função e igualar a zero para achar as abscissas desses pontos.

Passo 2

Calculamos a derivada da função em relação a x:
y' = dydx = 6x^2 + 24x - 30

Passo 3

Para a reta ser horizontal, basta igualar y' a zero e resolver a equação:
6x^2 + 24x - 30 = 0 Dividindo tudo por 6 e fatorando, temos:
x^2 + 4x - 5 = 0 Longrightarrow (x+5)(x-1)=0 Logo, as raízes são x=1 e x=-5. Agora basta achar y em cada valor de x:

Passo 4

Para x=1:
y(1)=2(1)^3+12(1)^2-30(1)+1 = 2+12-30+1 = -15

Passo 5

Para x=-5:
y(-5)=2(-5)^3+12(-5)^2-30(-5)+1 = -250+300+150+1 = 201

Resposta

Os pontos da curva onde a reta tangente é horizontal são (1,-15) e (-5,201).

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