Use a técnica da substituição para determinar,
integral0^1 x raiz1+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral integral0^1 xraiz1+x^2,dx usando substituição, que é um conteúdo de cálculo de integrais. Vamos precisar reconhecer uma parte da função como derivada de outra para simplificar.

Passo 2

Vamos escolher a substituição que torne o radical mais simples. Definimos u = 1 + x^2. Então, derivando em relação a x:
du = 2x,dx
Isto significa que x,dx = tfrac12,du.

Passo 3

Precisamos ajustar os limites de integração. Quando x=0, temos u = 1 + 0^2 = 1. Quando x=1, temos u = 1 + 1^2 = 2.

Passo 4

Agora substituímos tudo na integral original:
integral0^1 xraiz1+x^2,dx = integralu=1^u=2 raizu cdot 12,du = 12 integral1^2 u^1/2,du

Passo 5

Calculamos a integral de u^1/2. Lembrando que integral u^n,du = u^n+1n+1 para nneq -1. Aqui n=1/2, então:
integral u^1/2,du = u^3/23/2 = 23u^3/2
Logo,
12 integral1^2 u^1/2,du = 12 cdot 23 l[u^3/2r]1^2 = 13l[2^3/2 - 1^3/2r]

Passo 6

Só falta simplificar 2^3/2 = 2raiz2 e 1^3/2=1. Então o valor da integral é:
13l(2raiz2 - 1r)

Resposta

2raiz2-13

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