Ache os pontos de descontinuidades, se houver.
f(x)=x+3|x^2+3 x|

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de descontinuidade da função f(x)=x+3|x^2+3x|. O conteúdo é análise de continuidade, e vamos precisar usar conceito de domínio e limites laterais.

Passo 2

Para determinar o domínio de f, impomos |x^2+3x|neq0, ou seja x^2+3xneq0. Fatorando, x(x+3)neq0, logo xneq0 e xneq-3. Portanto os únicos pontos que podem causar descontinuidade são x=-3 e x=0.

Passo 3

Para analisar o tipo de descontinuidade, vamos escrever f de forma piecewise. Observando os sinais de x e x+3, temos:
f(x)= tfrac1|x|, & x>-3, xneq0,[6pt] tfrac-1|x|, & x<-3

Passo 4

Agora examinamos o comportamento em x=0. Em ambos os lados (tanto para xin(-3,0) quanto para x>0) a expressão é tfrac1|x| e conforme xto0 esse valor tende a +infty. Logo há uma descontinuidade infinita em x=0.

Passo 5

Em seguida, analisamos x=-3. Aproximando por valores maiores que -3 (intervalo -3), usamos tfrac1|x| e o limite é tfrac13. Aproximando por valores menores que -3 (intervalo x<-3), usamos -tfrac1|x| e o limite é -tfrac13. Como os limites laterais são diferentes, há descontinuidade do tipo salto em x=-3.

Resposta

Os pontos de descontinuidade são x=-3 e x=0.

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