Ache os pontos de intersecção dos gráficos do par de equações dadas:
(10.4) lr=4-2 sen theta r=-2+2 sen theta

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos de intersecção dos gráficos das curvas polares r=4-2sintheta e r=-2+2sintheta. O conteúdo é interseção de curvas em coordenadas polares e vamos precisar lembrar que em polares um mesmo ponto pode ter representação (r,theta) ou (-r,theta+pi).

Passo 2

Para dois pontos em coordenadas polares (r1,theta1) e (r2,theta2) representarem o mesmo ponto cartesiano há duas possibilidades: (i) r1=r2 e theta1=theta2 ou (ii) r1=-r2 e theta1=theta2+pi. Vamos testar primeiro a opção (i).

Passo 3

Na opção (i) impomos
4-2sintheta=-2+2sintheta
que leva a
4+2=4sintheta impliessintheta=tfrac32
não há solução real, pois |sintheta|<=1. Então não se intersectam para o mesmo theta e mesmos r.

Passo 4

Agora usamos a opção (ii): suponha que theta1=theta+pi e r1=4-2sin(theta+pi) deva ser igual a -r2, onde r2=-2+2sintheta. Então impomos
4-2sin(theta+pi)=-l(-2+2sinthetar)
Como sin(theta+pi)=-sintheta, o lado esquerdo vira 4+2sintheta e o direito 2-2sintheta.

Passo 5

Igualando-os:
4+2sintheta=2-2sintheta implies4-2=-4sintheta impliessintheta=-tfrac12
Logo
theta=tfrac7pi6,,tfrac11pi6(mód 2pi) ó

Passo 6

Para cada solução theta2 calculamos theta1=theta2+pi e o valor de r1=4-2sintheta1:
  • Se theta2=7pi/6 então theta1=13pi/6equivpi/6 e
r1=4-2sin(pi/6)=4-2cdottfrac12=3
  • Se theta2=11pi/6 então theta1=17pi/6equiv5pi/6 e
r1=4-2sin(5pi/6)=4-2cdottfrac12=3

Passo 7

Concluímos que as duas curvas se cruzam exatamente nos pontos, em coordenadas polares,
(r,theta)=(3,tfracpi6)e(3,tfrac5pi6)

Resposta

Os pontos de intersecção são (3,\pi/6) e (3,5\pi/6).

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