Ache os pontos de intersecção dos gráficos do par de equações dadas:
(10.4)
(10.4)
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos de intersecção dos gráficos das curvas polares
e
. O conteúdo é interseção de curvas em coordenadas polares e vamos precisar lembrar que em polares um mesmo ponto pode ter representação
ou
.
Passo 2
Para dois pontos em coordenadas polares
e
representarem o mesmo ponto cartesiano há duas possibilidades: (i)
e
ou (ii)
e
. Vamos testar primeiro a opção (i).
Passo 3
Na opção (i) impomos
que leva a
não há solução real, pois
. Então não se intersectam para o mesmo
e mesmos
.
Passo 4
Agora usamos a opção (ii): suponha que
e
deva ser igual a
, onde
. Então impomos
Como
, o lado esquerdo vira
e o direito
.
Passo 5
Igualando-os:
Logo
Passo 6
Para cada solução
calculamos
e o valor de
:
- Se
então e
- Se
então e
Passo 7
Concluímos que as duas curvas se cruzam exatamente nos pontos, em coordenadas polares,
Resposta
Os pontos de intersecção são (3,\pi/6) e (3,5\pi/6).