Verificar o Teorema de Stokes para e . hemisfério .
Passo 1
Vamos verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial e a superfície , que é o hemisfério definido por . O Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície do rotacional de sobre com a integral de linha de ao longo da borda de . Para resolver, vamos precisar calcular ambas as integrais e verificar se são iguais.
Passo 2
Primeiro, identificamos a borda da superfície . Como é um hemisfério, sua borda é o círculo no plano com equação . Precisamos parametrizar esse contorno para calcular a integral de linha.
Passo 3
Parametrizamos a curva da borda usando coordenadas polares:
A derivada de em relação a é:
Passo 4
Calculamos a integral de linha de ao longo de :
Substituindo e :
Portanto:
Integrando:
Passo 5
Agora, calculamos o rotacional de :
Passo 6
Parametrizamos a superfície r(theta, phi) = a,sintheta,cosphi,i + a,sintheta,sinphi,j + a,costheta,k, theta in [0, pi2], phi in [0, 2pi] usando coordenadas esféricas. Para o hemisfério superior:
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores:
Passo 7
Calculamos a integral de superfície do rotacional de integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaS (i + j + k) cdot (a^2sintheta,r) , dtheta , dphi :
(i + j + k) cdot r = a,sintheta,cosphi + a,sintheta,sinphi + a,costheta = a,sintheta (cosphi + sinphi) + a,costheta