Verificar o Teorema de Stokes para F e S.
F(x, y, z)=z i+x j+y k, S= hemisfério z=(a^2-x^2-y^2).

Passo 1

Vamos verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial e a superfície , que é o hemisfério definido por . O Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície do rotacional de sobre com a integral de linha de ao longo da borda de . Para resolver, vamos precisar calcular ambas as integrais e verificar se são iguais.

Passo 2

Primeiro, identificamos a borda da superfície . Como é um hemisfério, sua borda é o círculo no plano com equação . Precisamos parametrizar esse contorno para calcular a integral de linha.

Passo 3

Parametrizamos a curva r(t) = a,cos t,i + a,sin t,j, t in [0, 2pi] da borda usando coordenadas polares:
r'(t) = -a,sin t,i + a,cos t,j
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Calculamos a integral de linha de ointC F cdot dr = integral0^2pi F(r(t)) cdot r'(t) , dt ao longo de F(r(t)) = 0,i + a,cos t,j + a,sin t,k :
F cdot r'(t) = (0)(-a,sin t) + (a,cos t)(a,cos t) + (a,sin t)(0) = a^2cos^2 t
Substituindo ointC F cdot dr = a^2 integral0^2pi cos^2 t , dt = a^2 cdot pi e :
Portanto:
Integrando:

Passo 5

Agora, calculamos o rotacional de nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z z & x & y = ( partial ypartial y - partial xpartial z )i - ( partial ypartial x - partial zpartial z )j + ( partial xpartial x - partial zpartial y )k = i + j + k :

Passo 6

Parametrizamos a superfície r(theta, phi) = a,sintheta,cosphi,i + a,sintheta,sinphi,j + a,costheta,k, theta in [0, pi2], phi in [0, 2pi] usando coordenadas esféricas. Para o hemisfério superior:
partial rpartial theta = a,costheta,cosphi,i + a,costheta,sinphi,j - a,sintheta,k
Calculamos os vetores tangentes:
partial rpartial phi = -a,sintheta,sinphi,i + a,sintheta,cosphi,j
dS = partial rpartial theta times partial rpartial phi = a^2sintheta,r(theta, phi)
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores:

Passo 7

Calculamos a integral de superfície do rotacional de integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaS (i + j + k) cdot (a^2sintheta,r) , dtheta , dphi :
(i + j + k) cdot r = a,sintheta,cosphi + a,sintheta,sinphi + a,costheta = a,sintheta (cosphi + sinphi) + a,costheta
Substituindo integral duplaS (nabla times F) cdot dS = a^3 integral0^2pi integral0^pi2 [sintheta (cosphi + sinphi) + costheta] sintheta , dtheta , dphi :
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = a^2 pi
Integrando sobre e :
Simplificando e calculando, obtemos:

Resposta

Ambas as integrais, a de linha e a de superfície do rotacional de , resultam em . Portanto, o Teorema de Stokes está verificado para e .

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