Verificar o Teorema de Stokes para
e
.
,
interseção do cilindro
com o plano
, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial
e a superfície
que é a interseção do cilindro
com o plano
. O Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície do rotacional de
com a integral de linha de
ao longo da curva
, que é a borda de
. Para resolver isso, vamos calcular as duas integrais e ver se elas são iguais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o rotacional de
, ou seja,
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Aplicando isso ao nosso
:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de superfície
. A superfície
é o círculo no plano
com raio 2 (já que
).
Como
está no plano horizontal
, o vetor normal
aponta na direção positiva de
. Então,
e
.
A integral de superfície fica:
A área do círculo de raio 2 é
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de linha
. A curva
é o círculo
no plano
, orientado anti-horário.
Parametrizamos
usando coordenadas polares:
O vetor posição é
.
Derivando em relação a
:
Substituindo na integral:
Calculando
na parametrização:
Dot product:
Então,
Resposta
Como a integral de superfície
é igual à integral de linha
, o Teorema de Stokes está verificado para
e
.