Verificar o Teorema de Stokes para F e S.
F(x, y, z)=-y i+x j+3 z^2 k, C= interseção do cilindro x^2+y^2=4 com o plano z=5, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial e a superfície que é a interseção do cilindro com o plano . O Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície do rotacional de com a integral de linha de ao longo da curva , que é a borda de . Para resolver isso, vamos calcular as duas integrais e ver se elas são iguais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o rotacional de nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i - ( partial Rpartial x - partial Ppartial z ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k , ou seja, P = -y, Q = x, R = 3z^2 . O rotacional de um campo vetorial partial Rpartial y = 0, partial Qpartial z = 0, partial Rpartial x = 0, partial Ppartial z = 0 é dado por:
partial Qpartial x = 1, partial Ppartial y = -1
Aplicando isso ao nosso nabla times F = (0 - 0), i - (0 - 0), j + (1 - (-1)), k = 2, k :
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de superfície integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS = integral duplaS 2, k cdot k, dS = 2 integral duplaS dS . A superfície 2 times 4pi = 8pi é o círculo no plano com raio 2 (já que ).
Como está no plano horizontal , o vetor normal aponta na direção positiva de . Então, e .
A integral de superfície fica:
A área do círculo de raio 2 é , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha x = 2costheta, y = 2sintheta, z = 5, theta in [0, 2pi] . A curva drdtheta = -2sintheta, i + 2costheta, j é o círculo ointC F cdot dr = integral0^2pi F(r(theta)) cdot drdtheta, dtheta no plano F = -y, i + x, j + 3z^2, k = -2sintheta, i + 2costheta, j + 75, k , orientado anti-horário.
Parametrizamos F cdot drdtheta = (-2sintheta)(-2sintheta) + (2costheta)(2costheta) + 75 times 0 = 4sin^2theta + 4cos^2theta = 4(sin^2theta + cos^2theta) = 4 usando coordenadas polares:
integral0^2pi 4, dtheta = 4 times 2pi = 8pi
O vetor posição é .
Derivando em relação a :
Substituindo na integral:
Calculando na parametrização:
Dot product:
Então,

Resposta

Como a integral de superfície é igual à integral de linha , o Teorema de Stokes está verificado para e .

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