Ache os pontos de máximo e de mínimo locais da função f(x)=x^x, caso existam.

Passo 1

O enunciado pede os pontos de máximo e mínimo locais de f(x)=x^x. O conteúdo usado será cálculo de derivadas (primeira e segunda) e o critério da segunda derivada para classificar extremos.

Passo 2

Primeiro notamos que o domínio natural é x>0. Escrevemos
f(x)=x^x = e^xln x
Para obter a derivada usamos a regra da cadeia e a derivada de xln x.
Calculando a derivada:
f'(x) = e^xln x,ddx(xln x) = x^xl(ln x +1r)
Os pontos críticos satisfazem f'(x)=0, ou seja,
ln x +1 = 0 Longrightarrow x = e^-1 = tfrac1e

Passo 3

Para classificar esse ponto, calculamos a segunda derivada. De
f'(x)=x^x(ln x +1)
vem, por produto e cadeia,
f''(x) = ddxl[x^x(ln x +1)r] = x^x(ln x +1)^2 + x^xcdot1x = x^xl[(ln x +1)^2 + tfrac1xr]
Em x=tfrac1e temos ln(tfrac1e) +1=0 e 1/x=e, logo
f''l(tfrac1er) = l(tfrac1er)^!1/el[0^2 + er] = el(tfrac1er)^!1/e > 0
Como f''(tfrac1e)>0, isso é um mínimo local.

Passo 4

Não há outros pontos críticos para x>0, portanto não existem máximos locais.

Resposta

O único extremo local é mínimo em
x=tfrac1e, fl(tfrac1er)=l(tfrac1er)^!1/e
Não há pontos de máximo locais.

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