Calcule
integral d xx^2-x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida integral dxx^2-x. O conteúdo envolve integração de funções racionais e usaremos decomposição em frações parciais para resolver.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2-x = x,(x-1)
Então procuramos constantes A e B tais que
1x(x-1) = Ax + Bx-1

Passo 3

Multiplicando os dois lados por x(x-1), obtemos
1 = A,(x-1) + B,x = (A+B),x - A
Comparando coeficientes de x e termo constante:
A + B = 0, -,A = 1
Da segunda equação segue A = -1 e, em seguida, B = 1.

Passo 4

Substituímos na integral:
integral dxx^2-x = integral l(-1x + 1x-1r),dx = -integral dxx + integral dxx-1
Integrando cada termo:
- integral dxx = -lnlvert xrvert, integral dxx-1 = lnlvert x-1rvert

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, temos
integral dxx^2-x = lnlvert x-1rvert ;-;lnlvert xrvert ;+; C = lnllvertx-1xrrvert + C

Resposta

lnllvertx-1xrrvert + C

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