Exercício 30. Seja f: U subseteq R^n longrightarrow R^m de classe C^k. Se f^prime(a) tem posto p, então prove que existe um mergulho varphi: V subseteq R^p longrightarrow U de classe C^infty tal que f circ varphi é um mergulho.

Passo 1

O enunciado dá uma função fcolon UsubseteqR^ntoR^m de classe C^k e supõe que
rankl(f'(a)r)=p
Queremos mostrar que existe um mergulho varphicolon VsubseteqR^pto U de classe C^infty tal que fcircvarphi é também um mergulho. Aqui usamos ideias de álgebra linear (posto de uma matriz) e a definição de mergulho (immersion): g é mergulho se g' é injetora em cada ponto.

Passo 2

Como rank(f'(a))=p, existe uma aplicação linear injetora
Lcolon R^p longrightarrow R^n
com rank(L)=p e tal que a composição
f'(a)circ Lcolon R^plongrightarrowR^m
é injetora. (Basta escolher uma base de um subespaço de dimensão p onde f'(a) seja injetor.)

Passo 3

Definimos a aplicação afim
varphicolon R^plongrightarrowR^n, varphi(t)=a+L,t
Como varphi é afim, ela é de classe C^infty. Além disso, ain U e U é aberto, então existe uma vizinhança V de 0 em R^p tal que varphi(V)subset U. Assim varphicolon Vto U é bem-definida e C^infty.

Passo 4

Para tin V, a derivada de fcircvarphi vale
(fcircvarphi)'(t) = f'l(varphi(t)r)circvarphi'(t) = f'l(varphi(t)r)circ L
Em particular, em t=0 temos
(fcircvarphi)'(0) = f'(a)circ L,
que é injetora por construção. Como f' é contínua, para t suficientemente perto de 0 a composição f'(varphi(t))circ L continua injetora. Logo, reduzindo V se necessário, fcircvarphi tem derivada injetora em todo V, isto é, é um mergulho.

Resposta

A aplicação
varphicolon VsubseteqR^plongrightarrow U, varphi(t)=a+L,t
é de classe C^infty, satisfaz varphi(V)subset U e faz fcircvarphi ser mergulho.

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