Exercício 30. Seja
de classe
. Se
tem posto
, então prove que existe um mergulho
de classe
tal que
é um mergulho.
Passo 1
O enunciado dá uma função
de classe
e supõe que
Queremos mostrar que existe um mergulho
de classe
tal que
é também um mergulho. Aqui usamos ideias de álgebra linear (posto de uma matriz) e a definição de mergulho (immersion):
é mergulho se
é injetora em cada ponto.
Passo 2
Como
, existe uma aplicação linear injetora
com
e tal que a composição
é injetora. (Basta escolher uma base de um subespaço de dimensão
onde
seja injetor.)
Passo 3
Definimos a aplicação afim
Como
é afim, ela é de classe
. Além disso,
e
é aberto, então existe uma vizinhança
de
em
tal que
. Assim
é bem-definida e
.
Passo 4
Para
, a derivada de
vale
Em particular, em
temos
que é injetora por construção. Como
é contínua, para
suficientemente perto de
a composição
continua injetora. Logo, reduzindo
se necessário,
tem derivada injetora em todo
, isto é, é um mergulho.
Resposta
A aplicação
é de classe
, satisfaz
e faz
ser mergulho.