Usando o teste da segunda derivada, determine os extremos relativos da função f(x)=112(x^4+6 x^3-18 x^2).

Passo 1

O enunciado pede os extremos relativos de
f(x)=112l(x^4+6x^3-18x^2r)
usando o teste da segunda derivada. Vamos precisar de f'(x), achar os pontos críticos ( f'(x)=0) e depois usar f''(x) nesses pontos para classificar máximo ou mínimo.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira. Primeiro expandimos os coeficientes:
f(x)=112x^4+612x^3-1812x^2 =112x^4+12x^3-32x^2
Então
f'(x) =ddxl(tfrac112x^4+tfrac12x^3-tfrac32x^2r) =13x^3+32x^2-3x
Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
13x^3+32x^2-3x=0 ;Longrightarrow; xl(tfrac13x^2+tfrac32x-3r)=0
A parte quadrática tem De<a=(tfrac32)^2+4cdottfrac13cdot3=tfrac94+4= tfrac254, raiz =tfrac52. Assim
x=0, x=-tfrac32+tfrac52tfrac23 =1tfrac23=tfrac32, x=-tfrac32-tfrac52tfrac23 =-4tfrac23=-6

Passo 3

Agora a segunda derivada:
f''(x) =ddxl(tfrac13x^3+tfrac32x^2-3xr) =x^2+3x-3
Usamos f''(x) em cada ponto crítico para classificar.

Passo 4

Avaliações de f'':
f''(0)=0^2+3cdot0-3=-3<0Longrightarrowmáximo relativo em x=0, á
f''l(tfrac32r) =l(tfrac32r)^2+3cdottfrac32-3 =tfrac94+tfrac92-3 =tfrac9+18-124=tfrac154>0 ;Longrightarrowmínimo relativo em x=tfrac32, í
f''(-6)=(-6)^2+3cdot(-6)-3 =36-18-3=15>0 ;Longrightarrowmínimo relativo em x=-6 í

Passo 5

Para dar os valores de f nesses pontos:
f(0)=0,
fl(tfrac32r) =112l((tfrac32)^4 +6(tfrac32)^3-18(tfrac32)^2r) =-8164,
f(-6) =112l(1296-1296-648r)=-54

Resposta

Em x=-6, f(-6)=-54: mínimo relativo.
Em x=0, f(0)=0: máximo relativo.
Em x=tfrac32, f(tfrac32)=-tfrac8164: mínimo relativo.

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