Ache os pontos máximos, mínimos e sela da seguintes equações:
f(x, y)=2 x^wed>= 3+y^wed>= 3-6 x-6 y
interior: x^wed>= 2+y^wed>= 2<9

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função de duas variáveis f(x,y)=2x^3+y^3-6x-6y e queremos achar seus pontos máximos, mínimos e de sela no interior da região x^2+y^2<9. O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis sem restrição (dentro de um domínio aberto). Vamos precisar calcular derivadas parciais, encontrar pontos críticos e usar o teste do Hessiano para classificar cada um.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f e igualar a zero para achar pontos críticos. Temos:
fx = partial fpartial x = 6x^2 - 6, fy = partial fpartial y = 3y^2 - 6
Igualando a zero:
6x^2 - 6 = 0 implies x^2 = 1 implies x = pm1,
3y^2 - 6 = 0 implies y^2 = 2 implies y = pmraiz2

Passo 3

Listar os pontos críticos obtidos:
(x,y) = (1,,raiz2), (1,,-raiz2), (-1,,raiz2), (-1,,-raiz2)
Verificamos o domínio: para qualquer combinação, x^2+y^2 = 1 + 2 = 3 < 9, então todos estão no interior.

Passo 4

Construir o Hessiano de f e usar seu determinante para classificar. As segundas derivadas são:
fxx = 12x, fyy = 6y, fxy=0
O determinante do Hessiano é
D = fxx,fyy - (fxy)^2 = 72,x,y

Passo 5

Avaliar D e fxx em cada ponto para determinar a natureza:
– Em (1,,raiz2): D = 72raiz2 > 0 e fxx=12>0 → mínimo local.
– Em (1,,-raiz2): D = -72raiz2 < 0 → ponto de sela.
– Em (-1,,raiz2): D = -72raiz2 < 0 → ponto de sela.
– Em (-1,,-raiz2): D = 72raiz2 > 0 e fxx=-12<0 → máximo local.

Resposta

Ponto mínimo local em (1,,raiz2), ponto máximo local em ( -1,,-raiz2 ) e pontos de sela em (1,,-raiz2) e ( -1,,raiz2 ).

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