Ache os pontos máximos, mínimos e sela da seguintes equações:
interior:
interior:
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função de duas variáveis
e queremos achar seus pontos máximos, mínimos e de sela no interior da região
. O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis sem restrição (dentro de um domínio aberto). Vamos precisar calcular derivadas parciais, encontrar pontos críticos e usar o teste do Hessiano para classificar cada um.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
e igualar a zero para achar pontos críticos. Temos:
Igualando a zero:
Passo 3
Listar os pontos críticos obtidos:
Verificamos o domínio: para qualquer combinação,
Passo 4
Construir o Hessiano de
e usar seu determinante para classificar. As segundas derivadas são:
O determinante do Hessiano é
Passo 5
Avaliar
e
em cada ponto para determinar a natureza:
– Em :
e
→ mínimo local.
– Em :
→ ponto de sela.
– Em :
→ ponto de sela.
– Em :
e
→ máximo local.
– Em
– Em
– Em
– Em
Resposta
Ponto mínimo local em
, ponto máximo local em
e pontos de sela em
e
.