Um galpão para armazenamento de alimentos pode é limitado superiormente pela superfície
e inferiormente pelo retângulo
. O dono do armazém precisa armazenar caixas de alimentos, totalizando um volume total de
. Pergunta: Este armazém comporta este volume? Faça um desenho do projeto.
Passo 1
Então, a gente tem um galpão que é limitado de cima pela superfície $ f(x, y) = 4 - x^{2} $ e de baixo por um retângulo $ R = [0,2] \times [0,7] $. O dono quer saber se dá pra guardar 36,8 metros cúbicos de caixas nesse espaço. Pra descobrir isso, vamos calcular o volume do galpão usando integrais duplas, que é uma ferramenta que ajuda a encontrar volumes de regiões definidas por funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Nosso retângulo $ R $ vai de $ x = 0 $ até $ x = 2 $ e de $ y = 0 $ até $ y = 7 $. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a $ y $ de 0 a 7 e depois em relação a $ x $ de 0 a 2.
Passo 3
A função que limita o galpão de cima é $ f(x, y) = 4 - x^{2} $. Como a base é no plano $ z = 0 $, o volume será a integral dupla de $ f(x, y) $ sobre o retângulo $ R $. Então, a fórmula fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $. Como $ f(x, y) $ não depende de $ y $, a integral fica:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na integral externa em relação a $ x $:
Passo 6
Vamos calcular a integral $ \int_{0}^{2} (4 - x^{2}) , dx $. A antiderivada de $ 4 $ é $ 4x $ e a de $ -x^{2} $ é $ -\frac{x^{3}}{3} $, então:
Avaliado de 0 a 2:
Passo 7
Multiplicando pela constante 7 que tínhamos fora da integral:
Resposta
Sim, o galpão comporta o volume de 36,8 metros cúbicos, já que o volume total disponível é aproximadamente 37,33 metros cúbicos.