Um galpão para armazenamento de alimentos pode é limitado superiormente pela superfície f(x, y)=4-x^2 e inferiormente pelo retângulo R=[0,2] times[0,7]. O dono do armazém precisa armazenar caixas de alimentos, totalizando um volume total de 36,8 m^3. Pergunta: Este armazém comporta este volume? Faça um desenho do projeto.

Passo 1

Então, a gente tem um galpão que é limitado de cima pela superfície $ f(x, y) = 4 - x^{2} $ e de baixo por um retângulo $ R = [0,2] \times [0,7] $. O dono quer saber se dá pra guardar 36,8 metros cúbicos de caixas nesse espaço. Pra descobrir isso, vamos calcular o volume do galpão usando integrais duplas, que é uma ferramenta que ajuda a encontrar volumes de regiões definidas por funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Nosso retângulo $ R $ vai de $ x = 0 $ até $ x = 2 $ e de $ y = 0 $ até $ y = 7 $. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a $ y $ de 0 a 7 e depois em relação a $ x $ de 0 a 2.

Passo 3

A função que limita o galpão de cima é $ f(x, y) = 4 - x^{2} $. Como a base é no plano $ z = 0 $, o volume será a integral dupla de $ f(x, y) $ sobre o retângulo $ R $. Então, a fórmula fica:
f(x, y) = 4 - x^2

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $. Como $ f(x, y) $ não depende de $ y $, a integral fica:
y

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral externa em relação a $ x $:
x

Passo 6

Vamos calcular a integral $ \int_{0}^{2} (4 - x^{2}) , dx $. A antiderivada de $ 4 $ é $ 4x $ e a de $ -x^{2} $ é $ -\frac{x^{3}}{3} $, então:
integral0^2 (4 - x^2) , dx
Avaliado de 0 a 2:
4

Passo 7

Multiplicando pela constante 7 que tínhamos fora da integral:
Volume = 7 times 163 = 1123 approx 37,33 m^3

Resposta

Sim, o galpão comporta o volume de 36,8 metros cúbicos, já que o volume total disponível é aproximadamente 37,33 metros cúbicos.

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