Mostre que toda solução da EDO
y^prime+a y=b e^-c x
onde a e c são constantes positivas e b é um número real qualquer, tende a zero quando x vai para infinito. (Resp. y=C e^-a x+b e^-C x )

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que toda solução da EDO de primeira ordem y+a y=b e^-c x, com a,c>0 e b real, tende a zero quando xto+infty. O conteúdo aqui é a resolução de EDOs lineares de 1º ordem via fator integrante.

Passo 2

Vamos usar o fator integrante mu(x)=e^integral a,dx=e^a x. Multiplicando a EDO por mu(x) temos
e^a xy+a e^a xy = b e^a x e^-c x = b e^(a-c)x
O lado esquerdo é a derivada de e^a xy, isto é:
ddxl(e^a xyr)=b e^(a-c)x
Integrando ambos os lados:
e^a xy = ba-ce^(a-c)x + C,&aneq c,[6pt] b x + C,&a = c
Voltando a y:
y(x)= C e^-a x+dfracba-ce^-c x,&aneq c,[6pt] (b x + C)e^-a x,&a=c

Passo 3

Agora basta ver o comportamento quando xto+infty. Se aneq c, ambos e^-a x e e^-c x vão a zero porque a,c>0. Se a=c, o termo x e^-a x também tende a zero (pois exponencial vence polinomial). Logo em todos os casos y(x)to0.

Resposta

\lim_{x\to+\infty}y(x)=0

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