onde e são constantes positivas e é um número real qualquer, tende a zero quando vai para infinito. (Resp. )
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que toda solução da EDO de primeira ordem , com e real, tende a zero quando . O conteúdo aqui é a resolução de EDOs lineares de 1º ordem via fator integrante.
Passo 2
Vamos usar o fator integrante . Multiplicando a EDO por temos
O lado esquerdo é a derivada de , isto é:
Integrando ambos os lados:
Voltando a y:
y(x)= C e^-a x+dfracba-ce^-c x,&aneq c,[6pt] (b x + C)e^-a x,&a=c
Passo 3
Agora basta ver o comportamento quando xto+infty. Se aneq c, ambos e^-a x e e^-c x vão a zero porque a,c>0. Se a=c, o termo x e^-a x também tende a zero (pois exponencial vence polinomial). Logo em todos os casos y(x)to0.