O PVI
d pd t & =A p^2 / 3-B p p(0) & =0
é empregada para modelar, por exemplo, o aumento de peso de peixes em um viveiro. Aqui A e B são as chamadas constantes de analogismo e catabolismo. Mostre que
p(t)=(AB)^3(1-e^-B t / 3)^3
é uma solução e que p(t) (AB)^3, sempre que t infty.

Passo 1

O enunciado dá o PVI de primeira ordem
(1) dpdt = A,p^2/3 - B,p, com condição inicial p(0)=0.
Queremos mostrar que a função candidata p(t)=l(tfrac ABr)^3l(1-e^-Bt/3r)^3 satisfaz o PVI e que p(t)to (A/B)^3 quando ttoinfty.

Passo 2

Vamos começar conferindo a condição inicial. Substituindo t=0 em p(t):
p(0)=l(tfrac ABr)^3l(1-e^0r)^3=l(tfrac ABr)^3(1-1)^3=0
Logo, a condição p(0)=0 está satisfeita.

Passo 3

Agora calculamos a derivada dp/dt da candidata usando a regra da cadeia. Seja C=(A/B)^3 e u(t)=1-e^-Bt/3. Então p(t)=C,u(t)^3. Temos:
dpdt=Ccdot 3u(t)^2cdot u'(t)
Como u'(t)=-l(-tfrac B3r)e^-Bt/3=tfrac B3e^-Bt/3, segue:
dpdt=Ccdot3u^2cdot B3e^-Bt/3=C,B,u(t)^2e^-Bt/3

Passo 4

Em seguida, expressamos A,p^2/3-B,p e comparamos com dp/dt. Note que
p(t)^2/3=l[C,u(t)^3r]^2/3=C^2/3u(t)^2
e como C=(A/B)^3 temos C^2/3=(A/B)^2. Assim:
A,p^2/3=A,C^2/3u^2=A,(A/B)^2u^2=A^3B^2u^2
B,p=B,C,u^3=BcdotA^3B^3u^3=A^3B^2u^3
Logo:
A,p^2/3-B,p=A^3B^2u^2l(1-ur)=A^3B^2u^2e^-Bt/3
Mas C,B=(A/B)^3B=A^3/B^2, de modo que
A,p^2/3-B,p=C,B,u^2e^-Bt/3=dpdt
Isso mostra que a candidata satisfaz a equação diferencial.

Passo 5

Para finalizar, calculamos o limite quando ttoinfty. Como e^-Bt/3to0, temos u(t)=1-e^-Bt/3to1. Portanto: p(t)=C,u(t)^3to C=(A/B)^3.

Resposta

Mostramos que p(t)=l(tfrac ABr)^3l(1-e^-Bt/3r)^3 satisfaz o PVI e que
limttoinftyp(t)=l(tfrac ABr)^3

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