A função A definida por
A(x)=1+x^32 cdot 3+x^62 cdot 3 cdot 5 cdot 6+x^92 cdot 3 cdot 5 cdot 6 cdot 8 cdot 9+cdots
é denominada uma função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês Sir George Airy (1801-1892).
Determine o domínio da função de Airy.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de Airy definida por uma série infinita em potências de x e pede para determinar seu domínio, ou seja, o conjunto de valores de x para os quais essa série converge. Para resolver isso vamos usar o teste da razão, que é adequado para séries de potências.

Passo 2

Primeiro, identificamos o termo geral da série. Observando os primeiros termos, vemos que o n-ésimo termo (começando em n=0) é
an = x^3nprodk=1^nl((3k-1)(3k)r)
onde por convenção o produto vazio (n=0) é 1, dando o termo inicial a_0=1.

Passo 3

Agora aplicamos o teste da razão, que diz que a série converge se
L = limntoinfty |an+1an| < 1
Vamos calcular:
an+1an = x^3(n+1)prodk=1^n+1((3k-1)(3k)) cdot prodk=1^n((3k-1)(3k))x^3n = x^3(3(n+1)-1),(3(n+1))

Passo 4

Tomando o limite para n→∞, temos:
L = limntoinfty |x|^3(3n+2)(3n+3) = 0,
pois o denominador cresce sem limite e o numerador é constante em n. Como L=0<1 para qualquer valor real (ou complexo) de x, a série converge para todo x.

Passo 5

Portanto, o raio de convergência da série é infinito e o domínio da função de Airy é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

O domínio é todos os reais, isto é, (-∞, ∞).

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