A função
definida por
é denominada uma função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês Sir George Airy (1801-1892).
Determine o domínio da função de Airy.
Determine o domínio da função de Airy.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de Airy definida por uma série infinita em potências de x e pede para determinar seu domínio, ou seja, o conjunto de valores de x para os quais essa série converge. Para resolver isso vamos usar o teste da razão, que é adequado para séries de potências.
Passo 2
Primeiro, identificamos o termo geral da série. Observando os primeiros termos, vemos que o n-ésimo termo (começando em n=0) é
onde por convenção o produto vazio (n=0) é 1, dando o termo inicial a_0=1.
Passo 3
Agora aplicamos o teste da razão, que diz que a série converge se
Vamos calcular:
Passo 4
Tomando o limite para n→∞, temos:
pois o denominador cresce sem limite e o numerador é constante em n. Como L=0<1 para qualquer valor real (ou complexo) de x, a série converge para todo x.
Passo 5
Portanto, o raio de convergência da série é infinito e o domínio da função de Airy é todo o conjunto dos números reais.
Resposta
O domínio é todos os reais, isto é, (-∞, ∞).