Ache os pontos de r: x-1=2 y=z que equidistam de s=(2, t, 0), t in R e do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede os pontos de rcolon x-1=2y=z que equidistam de s=(2,t,0)mid tin R e do eixo x. O conteúdo aqui é distância entre ponto e reta, então vamos parametrizar r e aplicar a fórmula de distância de ponto a reta em cada caso.

Passo 2

Parametrizando r por lambda tal que
x-1=2y=z=lambda,
obtemos
x=1+lambda, y=tfraclambda2, z=lambda

Passo 3

Para a reta s, escolhemos o ponto base P0=(2,0,0) e o vetor diretor d=(0,1,0). Seja P(lambda)=(1+lambda,tfraclambda2,lambda). Então o vetor v=P(lambda)-P0=(lambda-1,tfraclambda2,lambda) e
vtimes d=(-lambda,0,lambda-1)
Assim a distância de P(lambda) a s é
ds=| vtimes d|| d|=raizlambda^2+(lambda-1)^2

Passo 4

A distância de P(lambda) ao eixo x é simplesmente
dx=raizy^2+z^2=raizl(tfraclambda2r)^2+lambda^2=raiz52,|lambda|

Passo 5

Igualando ds= dx e elevando ao quadrado:
lambda^2+(lambda-1)^2=5lambda^24Longrightarrow3lambda^2-8lambda+4=0,
de onde
lambda=8pmraiz64-486=8pm46inltfrac23,2r

Passo 6

Substituindo em P(lambda), para lambda=2 vem
P1=(1+2,1,2)=(3,1,2),
e para lambda=tfrac23
P2=l(1+tfrac23,tfrac13,tfrac23r)=l(tfrac53,tfrac13,tfrac23r)

Resposta

Os pontos são (3,1,2) e l(tfrac53,tfrac13,tfrac23r).

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