Verifique que a interseção dos planos pi1: x-y=0, pi2: x+z=0 e pi3: x-y+3 z+3=0 é um ponto. Modifique o coeficiente de y na equação do plano pi3 para que a interseção pi1 cap pi2 cap pi3 seja uma reta.

Passo 1

O enunciado dá três planos em R^3:
pi1:x-y=0, pi2:x+z=0 e pi3:x-y+3z+3=0.
Primeiro vamos mostrar que a interseção atual é um ponto resolvendo o sistema, depois vamos alterar o coeficiente de y em pi3 para que a interseção se torne uma reta. O conteúdo usado é sistema linear e posição relativa de planos em R^3.

Passo 2

Da equação de pi1 tiramos
x - y = 0 implies x = y,
e de pi2 tiramos
x + z = 0 implies z = -x = -y
Substituindo em pi3:
x - y + 3z + 3 = 0 implies y - y + 3(-y) + 3 = 0 implies -3y + 3 = 0 implies y = 1
Logo x=1 e z=-1. Portanto pi1cappi2cappi3=(1,1,-1), um ponto.

Passo 3

Para que três planos se cortem numa reta, seus vetores normais devem ser linearmente dependentes (posto
com normal . Queremos
Comparando coordenadas:
Da terceira equação e então

Resposta

O coeficiente de y deve ser 2, ou seja o plano passa a ser
x + 2y + 3z + 3 = 0,
e assim pi1cappi2cappi3' será uma reta.

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