Determine o centro e o raio das seguintes circunferências:
x^2+y^2-4 x+4 y-1=0

Passo 1

O enunciado dá a equação geral de uma circunferência
x^2 + y^2 - 4x + 4y - 1 = 0
e pede para encontrar o centro e o raio.
Conteúdo: completamento de quadrado em geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, isole o termo constante passando para o outro lado:
x^2 - 4x + y^2 + 4y = 1

Passo 3

Agora complete o quadrado em x e em y. Para isso, adicione e subtraia 4 em cada grupo:
l(x^2 - 4x + 4r) - 4 ;+;l(y^2 + 4y + 4r) - 4 ;=;1
Isto é,
(x - 2)^2 - 4 + (y + 2)^2 - 4 = 1

Passo 4

Agrupando os termos constantes:
(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9
Na forma padrão (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2, vemos que
x0 = 2, y0 = -2, r^2 = 9

Resposta

O centro é (2,-2) e o raio é 3.

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