Ache os pontos da reta L: x-1=2 y=z que equidistam de
L_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=2 \\\ z=0 \end{array} \quad \text { e } \quad L_{2}: x=y=0\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos da reta L que estão à mesma distância de duas outras retas L_{1} e L_{2}.
Conteúdo necessário:
– Parametrização de reta em \mathbb{R}^3.
– Fórmula da distância de um ponto a uma reta via produto vetorial.

Passo 2

Parametrizamos L definindo um parâmetro t tal que
x-1 = 2y = z = t.
Logo
x = 1 + t,\quad y = \frac{t}{2},\quad z = t
e um ponto genérico em L é
P(t)=\bigl(1+t,\;t/2,\;t\bigr).

Passo 3

Escolhemos um ponto A_{1}=(2,0,0) em L_{1} e o vetor diretor d_{1}=(0,1,0). A distância de P(t) a L_{1} é
d\bigl(P(t),L_{1}\bigr) =\frac{\bigl\|\,(P(t)-A_{1})\times d_{1}\bigr\|}{\|d_{1}\|} =\bigl\|\,(P(t)-A_{1})\times d_{1}\bigr\|.
Calculamos P(t)-A_{1}=(t-1,\;t/2,\;t) e
(P(t)-A_{1})\times d_{1} =(-t,\;0,\;t-1),
portanto
d\bigl(P(t),L_{1}\bigr) =\sqrt{(-t)^{2}+(t-1)^{2}} =\sqrt{2t^{2}-2t+1}.

Passo 4

Para L_{2} tomamos A_{2}=(0,0,0) e d_{2}=(0,0,1). Então
d\bigl(P(t),L_{2}\bigr) =\frac{\|P(t)\times d_{2}\|}{\|d_{2}\|} =\|P(t)\times d_{2}\|
com
P(t)\times d_{2} =\bigl(t/2,\,-(1+t),\,0\bigr)
e
d\bigl(P(t),L_{2}\bigr) =\sqrt{\bigl(t/2\bigr)^{2}+(1+t)^{2}} =\sqrt{\tfrac{5}{4}t^{2}+2t+1}.

Passo 5

Queremos
d\bigl(P(t),L_{1}\bigr) = d\bigl(P(t),L_{2}\bigr).
Igualando os quadrados das distâncias:
2t^{2}-2t+1 =\tfrac{5}{4}t^{2}+2t+1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{4}t^{2}-4t=0 \quad\Longrightarrow\quad t\bigl(\tfrac{3}{4}t-4\bigr)=0.
Logo t=0 ou t=\tfrac{16}{3}.

Passo 6

Substituindo em P(t):
Para t=0,
P(0)=\bigl(1,0,0\bigr).
Para t=\tfrac{16}{3},
P\bigl(\tfrac{16}{3}\bigr) =\Bigl(1+\tfrac{16}{3},\;\tfrac{16/3}{2},\;\tfrac{16}{3}\Bigr) =\bigl(\tfrac{19}{3},\tfrac{8}{3},\tfrac{16}{3}\bigr).

Resposta

Os pontos de L equidistantes de L_{1} e L_{2} são
\bigl(1,0,0\bigr) \quad\text{e}\quad \Bigl(\tfrac{19}{3},\tfrac{8}{3},\tfrac{16}{3}\Bigr).

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