(9 pontos) Uma matriz simétrica A tem polinômio caracteristico dado por
p(\lambda)=(\lambda-1)^{2} \lambda
Sabendo que ao autovalor \lambda=1 estão associados os autovetores
\vec{w}_{1}=(1,1,0) \text { e } \vec{w}_{2}=(1,1,1)
encontre uma base ortonormal formada por autovetores de A .

Passo 1

O enunciado diz que A é simétrica em \mathbb R^3 com polinômio característico
p(\lambda)=(\lambda-1)^2\lambda,
logo os autovalores são \lambda=1 (multiplicidade 2) e \lambda=0 (multiplicidade 1). São dados dois autovetores para \lambda=1:
\vec w_1 = (1,1,0),\quad \vec w_2=(1,1,1).
Precisamos então construir uma base ortonormal de \mathbb R^3 formada por autovetores de A. Como A é simétrica, sabemos que existe uma base ortonormal de autovetores, e para isso vamos:
  1. ortonormalizar \{\vec w_1,\vec w_2\} por Gram–Schmidt para a subespaço de \lambda=1,
  2. completar com um vetor próprio de \lambda=0 obtido como complemento ortogonal, depois normalizar.

Passo 2

Primeiro normalizamos \vec w_1.
\|\vec w_1\| = \sqrt{1^2+1^2+0^2} = \sqrt{2},
\vec u_1 = \frac{\vec w_1}{\|\vec w_1\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0).

Passo 3

Agora ortogonalizamos \vec w_2 em relação a \vec u_1.
O produto interno \vec u_1\cdot\vec w_2 é
\vec u_1\cdot\vec w_2 = \frac{1\cdot1 + 1\cdot1 + 0\cdot1}{\sqrt2} = \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2.
A projeção de \vec w_2 em \vec u_1 é \sqrt2\,\vec u_1, então
\vec v_2 = \vec w_2 - (\vec u_1\cdot\vec w_2)\,\vec u_1 = (1,1,1) - \sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt2}(1,1,0) = (1,1,1) - (1,1,0) = (0,0,1).
Como \|\vec v_2\|=1, basta definir
\vec u_2 = \vec v_2 = (0,0,1).

Passo 4

Finalmente, buscamos um autovetor de \lambda=0 ortogonal a \vec u_1 e \vec u_2. Se \vec v=(v_1,v_2,v_3) satisfaz
\vec v\cdot\vec u_2 = v_3 = 0, \quad \vec v\cdot\vec u_1 = \frac{v_1+v_2}{\sqrt2} = 0 \;\Longrightarrow\; v_1 + v_2=0.
Um candidato é (1,-1,0). Sua norma é \sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt2, logo
\vec u_3 = \frac{1}{\sqrt2}(1,-1,0).

Passo 5

Os vetores \vec u_1,\vec u_2,\vec u_3 são mutuamente ortogonais e unitários, e cada um é autovetor de A (os dois primeiros para \lambda=1, o terceiro para \lambda=0). Portanto
\{\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3\}
é a base ortonormal de autovetores desejada.

Resposta

\vec u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0), \quad \vec u_2 = (0,0,1), \quad \vec u_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0).

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