(9 pontos) Uma matriz simétrica
tem polinômio caracteristico dado por
Sabendo que ao autovalor
estão associados os autovetores
encontre uma base ortonormal formada por autovetores de A .
Passo 1
O enunciado diz que
é simétrica em
com polinômio característico
logo os autovalores são
(multiplicidade 2) e
(multiplicidade 1). São dados dois autovetores para
:
Precisamos então construir uma base ortonormal de
formada por autovetores de
. Como
é simétrica, sabemos que existe uma base ortonormal de autovetores, e para isso vamos:
- ortonormalizar
por Gram–Schmidt para a subespaço de , - completar com um vetor próprio de
obtido como complemento ortogonal, depois normalizar.
Passo 2
Primeiro normalizamos
.
Passo 3
Agora ortogonalizamos
em relação a
.
O produto interno é
O produto interno
A projeção de
em
é
, então
Como
, basta definir
Passo 4
Finalmente, buscamos um autovetor de
ortogonal a
e
. Se
satisfaz
Um candidato é
. Sua norma é
, logo
Passo 5
Os vetores
são mutuamente ortogonais e unitários, e cada um é autovetor de
(os dois primeiros para
, o terceiro para
). Portanto
é a base ortonormal de autovetores desejada.