Calcule a distância entre as retas.
L_{1}: \frac{x+4}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z+5}{-2} \quad e \quad L_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=21+6 t \\\ y=-5-4 t, \\\ z=2-t\end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas em \mathbb{R}^3. Isso envolve retas potencialmente reversas (“skew”), e a fórmula que vamos usar é
d = \frac{\bigl|\,(P_2 - P_1)\cdot (v_1 \times v_2)\bigr|}{\|v_1 \times v_2\|}
onde P_1 e v_1 são um ponto e o vetor diretor da primeira reta, e P_2 e v_2 são um ponto e o vetor diretor da segunda.

Passo 2

Escrevemos cada reta em forma paramétrica e identificamos ponto e vetor diretor.
Para L_1:
\frac{x+4}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z+5}{-2}=s
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x=-4+3s,\quad y=4s,\quad z=-5-2s.
Escolhemos P_1=(-4,0,-5) (caso s=0) e v_1=(3,4,-2).
Para L_2:
x=21+6t,\quad y=-5-4t,\quad z=2-t.
Aqui P_2=(21,-5,2) (caso t=0) e v_2=(6,-4,-1).

Passo 3

Calculamos o vetor que liga P_1 a P_2:
P_2 - P_1 = (21 - (-4),\,-5 - 0,\,2 - (-5)) = (25,-5,7).

Passo 4

Computamos o produto vetorial v_1 \times v_2:
v_1\times v_2 = (3,4,-2)\times(6,-4,-1) = \bigl(4\cdot(-1)-(-2)\cdot(-4),\;-\bigl(3\cdot(-1)-(-2)\cdot6\bigr),\;3\cdot(-4)-4\cdot6\bigr) =(-12,\,-9,\,-36).
O módulo é
\|v_1\times v_2\| =\sqrt{(-12)^2+(-9)^2+(-36)^2} =\sqrt{144+81+1296} =\sqrt{1521} =39.

Passo 5

Calculamos o produto escalar (P_2-P_1)\cdot(v_1\times v_2) em módulo:
(25,-5,7)\cdot(-12,-9,-36) =25\cdot(-12)+(-5)\cdot(-9)+7\cdot(-36) =-300+45-252=-507,
\bigl|(P_2-P_1)\cdot(v_1\times v_2)\bigr|=507.
Agora aplicamos a fórmula da distância:
d=\frac{507}{39}=13.

Resposta

A distância entre L_1 e L_2 é 13.

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