Calcule a distância entre as retas. L_{1}: \frac{x+4}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z+5}{-2} \quad e \quad L_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=21+6 t \\\ y=-5-4 t, \\\ z=2-t\end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.
Passo 1
O enunciado pede a distância entre duas retas em \mathbb{R}^3. Isso envolve retas potencialmente reversas (“skew”), e a fórmula que vamos usar é
d = \frac{\bigl|\,(P_2 - P_1)\cdot (v_1 \times v_2)\bigr|}{\|v_1 \times v_2\|}
onde P_1 e v_1 são um ponto e o vetor diretor da primeira reta, e P_2 e v_2 são um ponto e o vetor diretor da segunda.
Passo 2
Escrevemos cada reta em forma paramétrica e identificamos ponto e vetor diretor.
Para L_1:
\frac{x+4}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z+5}{-2}=s
logo
x=-4+3s,\quad y=4s,\quad z=-5-2s.
Escolhemos P_1=(-4,0,-5) (caso s=0) e v_1=(3,4,-2).