Ache os pontos sobre a curva y=x^3+3 x^2-9 x+10 onde a tangente é horizontal.

Passo 1

O enunciado pede os pontos da curva
y = x^3 + 3x^2 - 9x + 10
onde a reta tangente é horizontal. O conteúdo envolvido é cálculo de derivada e identificação de pontos críticos: como a tangente é horizontal quando a derivada primeira vale zero, vamos usar a regra do poder para derivar o polinômio e depois resolver a equação y'=0.

Passo 2

Aplicando a regra do poder em cada termo de y, obtemos
y' = dydx = 3x^2 + 6x - 9
A condição de tangente horizontal é
y' = 0 Longrightarrow 3x^2 + 6x - 9 = 0

Passo 3

Para resolver
3x^2 + 6x - 9 = 0
dividimos ambos os lados por 3 e usamos a fórmula de Bhaskara:
x^2 + 2x - 3 = 0 Longrightarrow x = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot(-3)2 = -2 pm raiz4 + 122 = -2 pm 42
Logo,
x = 1 ou x = -3

Passo 4

Agora calculamos y em cada raiz:
Para x=1:
y = 1^3 + 3cdot1^2 - 9cdot1 + 10 = 1 + 3 - 9 + 10 = 5
Para x=-3:
y = (-3)^3 + 3cdot(-3)^2 - 9cdot(-3) + 10 = -27 + 27 + 27 + 10 = 37

Resposta

Os pontos da curva onde a tangente é horizontal são (1,5) e (-3,37).

Exercícios relacionados