Usando o método de série de potências em torno do ponto
, encontre as soluções gerais das equações:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por séries de potências centradas em
, a equação não homogênea
O que precisamos:
- Encontrar uma solução particular
simples (por exemplo polinomial). - Encontrar a solução geral da equação homogênea
por séries de potências
.
3. Combinar para ter a solução geral .
3. Combinar para ter a solução geral
Passo 2
Procuramos uma solução particular da forma polinomial de grau 1,
Então
Substituindo em
dá
Comparando coeficientes obtemos
Logo
Passo 3
Para a parte homogênea, assumimos
logo
Substituindo em
e alinhando potências de
resulta em
Para
:
Para
:
Passo 4
A recorrência liga índices de dois em dois, então separam-se as séries par e ímpar:
- Série par (
livre):
- Série ímpar (
livre):
Portanto a solução geral da homogênea é
Passo 5
Reunindo tudo, a solução geral da equação original é
Resposta
com