Usando o método de série de potências em torno do ponto x0, encontre as soluções gerais das equações:
y^prime prime+x y^prime+5 y=1+x, x0=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por séries de potências centradas em x0=0, a equação não homogênea
y''+x,y'+5y=1+x
O que precisamos:
  1. Encontrar uma solução particular yp(x) simples (por exemplo polinomial).
  2. Encontrar a solução geral da equação homogênea
y''+x,y'+5y=0
por séries de potências y=sumn=0^inftyanx^n.
3. Combinar para ter a solução geral y=yh+yp.

Passo 2

Procuramos uma solução particular da forma polinomial de grau 1,
yp(x)=A+Bx
Então
yp'(x)=B, yp''(x)=0
Substituindo em y''+x,y'+5y=1+x
0 + x,B +5(A+Bx)=1+x ;Longrightarrow; 5A + (B+5B)x = 1 + x
Comparando coeficientes obtemos
5A=1Longrightarrow A=tfrac15, 6B=1Longrightarrow B=tfrac16
Logo
boxedyp(x)=15+x6

Passo 3

Para a parte homogênea, assumimos
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
logo
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2
Substituindo em y''+x,y'+5y=0 e alinhando potências de x^k resulta em
sumk=0^infty(k+2)(k+1),ak+2,x^k +sumk=1^inftyk,ak,x^k +5sumk=0^inftyak,x^k=0
Para k=0:
2cdot1,a2+5a0=0 ;Longrightarrow; a2=-52a0
Para k>=1:
(k+2)(k+1),ak+2+l(k+5r)ak=0 ;Longrightarrow; boxedak+2=-k+5(k+2)(k+1),ak

Passo 4

A recorrência liga índices de dois em dois, então separam-se as séries par e ímpar:
  1. Série par ( a0 livre):
a2=-tfrac52a0,; a4=-tfrac2+54cdot3a2=tfrac3524a0,;dots
y1(x)=1-tfrac52x^2+tfrac3524x^4-tfrac716x^6+cdots
  1. Série ímpar ( a1 livre):
a3=-tfrac1+53cdot2a1=-a1,; a5=-tfrac3+55cdot4a3=tfrac25a1,;dots
y2(x)=x - x^3+tfrac25x^5-tfrac221x^7+cdots
Portanto a solução geral da homogênea é
boxedyh(x)=C1,y1(x)+C2,y2(x)

Passo 5

Reunindo tudo, a solução geral da equação original é
boxedy(x)=C1l(1-tfrac52x^2+tfrac3524x^4-cdotsr) ;+;C2l(x - x^3+tfrac25x^5-cdotsr) ;+;15+x6

Resposta

y(x)=C1summ=0^inftya2m,x^2m ;+; C2summ=0^inftya2m+1,x^2m+1 ;+; 15+x6,
com
a0 livre, a2m+2=-2m+5(2m+2)(2m+1),a2m, a1 livre, a2m+3=-2m+6(2m+3)(2m+2),a2m+1

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