Mostre que a função
sen
é solução da equação de Laplace
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é solução da equação de Laplace
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem e verificação de que a soma delas se anula.
Passo 2
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
e depois a segunda derivada.
Como é tratado como constante em relação a
, temos
Como
Derivando novamente em
:
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais em relação a
.
Aqui é tratado como constante:
Aqui
Derivando novamente em
:
Passo 4
Somando as segundas derivadas encontramos
Como a soma é zero,
satisfaz a equação de Laplace, logo é harmônica.
Resposta
A função
satisfaz
ou seja, é solução da equação de Laplace.