Mostre que a função sen é solução da equação de Laplace

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
u(x,y)=e^xsin y
é solução da equação de Laplace
partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2=0
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem e verificação de que a soma delas se anula.

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial de u em relação a x e depois a segunda derivada.
Como sin y é tratado como constante em relação a x, temos
partial upartial x =partial partial xl(e^xsin yr) =e^xsin y
Derivando novamente em x:
partial^2 upartial x^2 =partial partial xl(e^xsin yr) =e^xsin y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais em relação a y.
Aqui e^x é tratado como constante:
partial upartial y =partial partial yl(e^xsin yr) =e^xcos y
Derivando novamente em y:
partial^2 upartial y^2 =partial partial yl(e^xcos yr) =-,e^xsin y

Passo 4

Somando as segundas derivadas encontramos
partial^2 upartial x^2 +partial^2 upartial y^2 =e^xsin y + l(-e^xsin yr) =0
Como a soma é zero, u satisfaz a equação de Laplace, logo é harmônica.

Resposta

A função u(x,y)=e^xsin y satisfaz
partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2=0,
ou seja, é solução da equação de Laplace.

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