Ache a primeira derivada em relação a x para as seguintes funções
y=f(x)=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para achar a derivada de
y = f(x) = \biggl(\frac{x+1}{x-1}\biggr)^{2}.
O conteúdo principal aqui é aplicar a regra da cadeia a uma potência e, no meio disso, usar a regra do quociente para derivar a função interna.

Passo 2

Para simplificar, defino
u(x) = \frac{x+1}{x-1},
de modo que
f(x) = \bigl(u(x)\bigr)^{2}.
Pela regra da cadeia, temos
f'(x) = 2\,u(x)\,\bigl[u'(x)\bigr].

Passo 3

Agora calculo u'(x) usando a regra do quociente. Se
u(x)=\frac{v(x)}{w(x)} \quad\text{com}\quad v(x)=x+1,\;w(x)=x-1,
então
u'(x) = \frac{v'(x)\,w(x) - v(x)\,w'(x)}{\bigl(w(x)\bigr)^{2}} = \frac{1\cdot (x-1) - (x+1)\cdot1}{(x-1)^{2}} = \frac{x-1 - x -1}{(x-1)^{2}} = \frac{-2}{(x-1)^{2}}.

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) na regra da cadeia, vem
f'(x) = 2 \,\frac{x+1}{x-1}\;\cdot\;\frac{-2}{(x-1)^{2}} = -4\,\frac{x+1}{(x-1)^{3}}.

Resposta

f'(x) = -\frac{4\,(x+1)}{(x-1)^{3}}.

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