Ache a primeira derivada em relação a x para as seguintes funções
y=f(x)=\frac{2 x+1}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada primeira de
y = f(x) = \frac{2x+1}{x^2-1}
em relação a x. O conteúdo envolvido é a regra do quociente para derivadas: se f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.

Passo 2

Identificamos
u(x)=2x+1, \quad v(x)=x^2-1.
Calculamos u'(x) e v'(x):
u'(x)=2, \qquad v'(x)=2x.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{2\,(x^2-1)-(2x+1)\,(2x)}{(x^2-1)^2}.

Passo 4

Expandindo e simplificando o numerador:
2\,(x^2-1)=2x^2-2, \qquad (2x+1)\,(2x)=4x^2+2x,
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2x^2-2-(4x^2+2x) =-2x^2-2x-2 =-2\,(x^2+x+1).

Passo 5

Substituindo na expressão de f'(x):
f'(x) = \frac{-2\,(x^2+x+1)}{(x^2-1)^2}.

Resposta

f'(x) = \frac{-2\,(x^2+x+1)}{(x^2-1)^2}.

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