Usando as regras de derivações determine as seguintes derivadas de primeira ordem f^{\prime}(x) para seguintes funções
f(x)=x \cos (x) \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem de
f(x)=x\cos(x)\sin(x).
O conteúdo envolvido é a aplicação da regra do produto e das derivadas básicas de \sin(x) e \cos(x).

Passo 2

Para usar a regra do produto, escrevemos
f(x)=u(x)\,v(x),
onde u(x)=x\cos(x) e v(x)=\sin(x). Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x)=x\cos(x) é outro produto, aplicamos de novo a regra do produto:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)\cdot\cos(x)+x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr) =1\cdot\cos(x)+x\cdot\bigl(-\sin(x)\bigr) =\cos(x)-x\sin(x).

Passo 4

Agora v'(x). Como v(x)=\sin(x), temos
v'(x)=\cos(x).

Passo 5

Substituindo em f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x), obtemos
f'(x)=\bigl(\cos(x)-x\sin(x)\bigr)\sin(x)+\bigl(x\cos(x)\bigr)\cos(x).

Passo 6

Expandindo e organizando termos,
f'(x) =\cos(x)\sin(x)-x\sin^2(x)+x\cos^2(x) =x\bigl(\cos^2(x)-\sin^2(x)\bigr)+\sin(x)\cos(x).

Resposta

f'(x)=x\bigl(\cos^2(x)-\sin^2(x)\bigr)+\sin(x)\cos(x).

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