Ache, por qualquer método, a transformada de Laplace das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a transformada de Laplace da função
. Então, estamos trabalhando com a transformada de Laplace, uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em funções que são “desligadas” em determinado ponto no tempo, usando a função de Heaviside.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função
. Essa é uma notação para a função de Heaviside, que é uma função que vale 0 para
e 1 para
. Ou seja,
Então, nossa função
fica:
Passo 3
Agora, vamos reescrever isso usando a notação mais comum da função de Heaviside, que é
, onde
é o ponto onde a função “liga”. Então,
Isso facilita a aplicação das propriedades da transformada de Laplace.
Passo 4
Uma das propriedades importantes da transformada de Laplace é a Propriedade do Deslocamento no Tempo, que diz:
Onde
é a transformada de Laplace da função
.
No nosso caso,
, porque temos
, mas como a função está multiplicada pela função de Heaviside
, aplicamos a propriedade mencionada.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar a transformada de Laplace de
:
Isso vale para
para garantir a convergência da integral.
Passo 6
Agora, aplicando a Propriedade do Deslocamento no Tempo:
Resposta
Então, a transformada de Laplace da função
é: