Ache, por qualquer método, a transformada de Laplace das funções
f(t)=Theta2(t) e^t-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a transformada de Laplace da função . Então, estamos trabalhando com a transformada de Laplace, uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em funções que são “desligadas” em determinado ponto no tempo, usando a função de Heaviside.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função Theta2(t) = 0 & se t < 2 1 & se t >= 2 . Essa é uma notação para a função de Heaviside, que é uma função que vale 0 para f(t) = Theta2(t) e^t-2 e 1 para . Ou seja,
Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos reescrever isso usando a notação mais comum da função de Heaviside, que é f(t) = u(t-2) e^t-2 , onde é o ponto onde a função “liga”. Então,
Isso facilita a aplicação das propriedades da transformada de Laplace.

Passo 4

Uma das propriedades importantes da transformada de Laplace é a Propriedade do Deslocamento no Tempo, que diz:
Lu(t-a)g(t-a) = e^-as G(s)
Onde é a transformada de Laplace da função .
No nosso caso, , porque temos , mas como a função está multiplicada pela função de Heaviside , aplicamos a propriedade mencionada.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a transformada de Laplace de Le^t = integral0^infty e^t e^-st dt = integral0^infty e^-(s-1)t dt = 1s - 1 :
Isso vale para para garantir a convergência da integral.

Passo 6

Agora, aplicando a Propriedade do Deslocamento no Tempo:
Lu(t-2)e^t-2 = e^-2s cdot Le^t = e^-2s cdot 1s - 1

Resposta

Então, a transformada de Laplace da função F(s) = e^-2ss - 1 é:

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