Considere a integral dupla iterada I=integral0^1 integralx^1 2 e^y^2 d y d x. Escreva I como integral dupla iterada na ordem dxdy e calcule o valor de I.

Passo 1

Neste exercício, a gente tem a integral dupla iterada
I=integral0^1integralx^12e^y^2,dy,dx
O objetivo é trocar a ordem de integração (usando o Teorema de Fubini) e depois calcular a integral resultante, que vai precisar de uma substituição.

Passo 2

A região de integração é dada por 0≤x≤1 e x≤y≤1. No plano xy, isso equivale a
0≤y≤1 e, para cada y, 0≤x≤y.

Passo 3

Logo, trocando a ordem de integração, escrevemos
[
I=\int_{y=0}{1}\int_{x=0}{y}2e{y{2}},dx,dy.

Passo 4

Como 2e{y{2}} não depende de x, a integral interna fica
[
\int_{0}{y}2e{y{2}},dx=2e{y{2}}\bigl[x\bigr]_{0}{y}=2y,e{y{2}}.

Passo 5

Agora temos
I=integral0^12y,e^y^2,dy
Repare que a derivada de y² é 2y, então fazemos a substituição u=y², du=2y dy. Quando y vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1.

Passo 6

Com a substituição, a integral fica
[
I=\int_{u=0}{1}e{u},du=e{u}\bigl]_{0}{1}=e-1.

Passo 7

Pronto! Chegamos ao resultado final.

Resposta

e-1

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