Considere a integral dupla iterada
. Escreva
como integral dupla iterada na ordem dxdy e calcule o valor de
.
Passo 1
Neste exercício, a gente tem a integral dupla iterada
O objetivo é trocar a ordem de integração (usando o Teorema de Fubini) e depois calcular a integral resultante, que vai precisar de uma substituição.
Passo 2
A região de integração é dada por 0≤x≤1 e x≤y≤1. No plano xy, isso equivale a
0≤y≤1 e, para cada y, 0≤x≤y.
0≤y≤1 e, para cada y, 0≤x≤y.
Passo 3
Logo, trocando a ordem de integração, escrevemos
[
I=\int_{y=0}{1}\int_{x=0}{y}2e{y{2}},dx,dy.
I=\int_{y=0}{1}\int_{x=0}{y}2e{y{2}},dx,dy.
Passo 4
Como 2e{y{2}} não depende de x, a integral interna fica
[
\int_{0}{y}2e{y{2}},dx=2e{y{2}}\bigl[x\bigr]_{0}{y}=2y,e{y{2}}.
\int_{0}{y}2e{y{2}},dx=2e{y{2}}\bigl[x\bigr]_{0}{y}=2y,e{y{2}}.
Passo 5
Agora temos
Repare que a derivada de y² é 2y, então fazemos a substituição u=y², du=2y dy. Quando y vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1.
Passo 6
Com a substituição, a integral fica
[
I=\int_{u=0}{1}e{u},du=e{u}\bigl]_{0}{1}=e-1.
I=\int_{u=0}{1}e{u},du=e{u}\bigl]_{0}{1}=e-1.
Passo 7
Pronto! Chegamos ao resultado final.