Resolva as seguintes equaçōes diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos usar equações diferenciais lineares de coeficientes constantes para resolver isso. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação característica associada à nossa equação diferencial. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem como essa é dada por:
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
.
Substituindo os valores:
Simplificando a raiz:
Então:
Passo 4
Agora que temos as raízes
e
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
.
Substituindo
na solução geral:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial
. Primeiro, precisamos encontrar a derivada da solução geral:
Substituindo
:
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar
e substituir na segunda equação:
Passo 8
Distribuindo:
Simplificando os termos:
Passo 9
Isolando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Racionalizando o denominador:
Passo 10
Agora, usando
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: