Resolva as seguintes equaçōes diferenciais:
d^2 yd t^2+2 d yd t-4 y=0 l y(0)=1 y^prime(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem:
d^2 yd t^2 + 2 d yd t -4 y =0
com as condições iniciais:
y(0) = 1 e y^prime(0) = 2
Vamos usar equações diferenciais lineares de coeficientes constantes para resolver isso. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação característica associada à nossa equação diferencial. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem como essa é dada por:
m^2 + 2m -4 =0

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de m = -b pm raizb^2 -4ac2a . Usando a fórmula de Bhaskara:
m = -2 pm raiz(2)^2 -4 cdot 1 cdot (-4)2 cdot 1 = -2 pm raiz4 +162 = -2 pm raiz202
onde raiz20 = 2raiz5 , m = -2 pm 2raiz52 = -1 pm raiz5 e .
Substituindo os valores:
Simplificando a raiz:
Então:

Passo 4

Agora que temos as raízes y(t) = C1 e^m1 t + C2 e^m2 t = C1 e^(-1 + raiz5) t + C2 e^(-1 - raiz5) t e , podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial 1 = C1 e^0 + C2 e^0 Rightarrow 1 = C1 + C2 .
Substituindo na solução geral:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial y^prime(t) = C1 m1 e^m1 t + C2 m2 e^m2 t . Primeiro, precisamos encontrar a derivada da solução geral:
2 = C1 m1 + C2 m2 = C1 (-1 + raiz5) + C2 (-1 - raiz5)
Substituindo :

Passo 7

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
C1 + C2 = 1 C1 (-1 + raiz5) + C2 (-1 - raiz5) = 2
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar C1 (-1 + raiz5) + (1 - C1) (-1 - raiz5) = 2 e substituir na segunda equação:

Passo 8

Distribuindo:
- C1 + C1 raiz5 -1 - raiz5 + C1 + C1 raiz5 = 2
Simplificando os termos:
( C1 raiz5 + C1 raiz5 ) + (- C1 + C1) + (-1 - raiz5) = 2
2 C1 raiz5 -1 - raiz5 = 2

Passo 9

Isolando 2 C1 raiz5 = 2 +1 + raiz5 Rightarrow 2 C1 raiz5 = 3 + raiz5 :
C1 = 3 + raiz52 raiz5 = 32 raiz5 + 12
Dividindo ambos os lados por C1 = 3 raiz510 + 12 = 3 raiz5 +510 :
Racionalizando o denominador:

Passo 10

Agora, usando C2 = 1 - 3 raiz5 +510 = 10 -3 raiz5 -510 = 5 -3 raiz510 :

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
y(t) = ( 3 raiz5 +510 ) e^(-1 + raiz5) t + ( 5 -3 raiz510 ) e^(-1 - raiz5) t

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