Ache os quatros primeiros termos não nulos da expansão em série da solução de cada um dos seguintes problemas com condição inicial, e determine um intervalo (minimal) de convergência para a série
Passo 1
Nesta questão temos a equação diferencial
com condições iniciais
e
. O conteúdo principal é solução por séries de potências centradas em
. Vamos assumir uma série para
e para
e extrair uma recorrência para os coeficientes.
Passo 2
Escrevemos
e sabemos que
Dessa forma
e o produto
gera coeficientes
Passo 3
Substituindo em
obtemos
logo a relação de recorrência é
Passo 4
Aplicando as condições iniciais
,
e calculando coeficientes até termos quatro termos não nulos:
- Para
obtemos , . - Para
achamos e . - Para
achamos e . - Para
achamos e .
Assim os quatro primeiros termos não nulos são
Passo 5
Como
é função inteira, a equação diferencial tem coeficientes analíticos em todo
e o raio de convergência da série é infinito. Portanto o intervalo (mínimo) de convergência é