Ache os quatros primeiros termos não nulos da expansão em série da solução de cada um dos seguintes problemas com condição inicial, e determine um intervalo (minimal) de convergência para a série
r y^prime prime+(sen x) y=0 y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Nesta questão temos a equação diferencial y''+sin x,y=0 com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. O conteúdo principal é solução por séries de potências centradas em x=0. Vamos assumir uma série para y e para sin x e extrair uma recorrência para os coeficientes.

Passo 2

Escrevemos
y(x)=sumn=0^infty anx^n,
e sabemos que
sin x=summ=0^infty(-1)^mx^2m+1(2m+1)!
Dessa forma
y''=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n
e o produto sin x,y gera coeficientes
bn=summ=0^lfloor(n-1)/2rfloor(-1)^man-2m-1(2m+1)!

Passo 3

Substituindo em y''+sin x,y=0 obtemos
sumn=0^inftyl((n+2)(n+1)an+2+bnr)x^n=0,
logo a relação de recorrência é
an+2=-bn(n+2)(n+1)

Passo 4

Aplicando as condições iniciais a0=1, a1=0 e calculando coeficientes até termos quatro termos não nulos:
  • Para n=0,2 obtemos a2=0, a4=0.
  • Para n=1 achamos b1=1 e a3=-1/6.
  • Para n=3 achamos b3=-1/6 e a5=1/120.
  • Para n=4 achamos b4=-1/6 e a6=1/180.
    Assim os quatro primeiros termos não nulos são
y(x)=1-x^36+x^5120+x^6180+cdots

Passo 5

Como sin x é função inteira, a equação diferencial tem coeficientes analíticos em todo R e o raio de convergência da série é infinito. Portanto o intervalo (mínimo) de convergência é
(-infty,infty)

Resposta

y(x)=1-x^36+x^5120+x^6180+cdots, xin(-infty,infty)

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