Uma pirâmide com 3 m de altura tem uma base quadrada com 3 m de lado. A seção transversal da piràmide, perpendicular à altura x m abaixo do vértice, é um quadrado com x m de lado. Determine o volume da pirâmide.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma pirâmide de altura 3 m e base quadrada de lado 3 m. A seção transversal feita a uma distância x abaixo do vértice é um quadrado de lado x. Vamos usar semelhança de sólidos para relacionar as dimensões e depois calcular o volume pela integral das áreas transversais.

Passo 2

Pela semelhança de triângulos, o lado da seção transversal a x metros do vértice é proporcional a x. Como no vértice (x=0) o lado é 0 e na base (x=3) o lado é 3, temos diretamente
s(x)=x
Assim, a área da seção transversal é
A(x)=s(x)^2=x^2

Passo 3

O volume da pirâmide pode ser obtido integrando as áreas das seções transversais de x=0 até x=3:
V=integral0^3A(x),dx=integral0^3x^2,dx

Passo 4

Agora basta calcular a integral:
integral0^3x^2,dx=x^33|0^3=3^33=9

Resposta

O volume da pirâmide é 9,m^3.

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