Calcule integralgamma e^zz^2(z-1) d z, onde gamma é a circunferência |z|=2 percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integralgammae^zz^2(z-1)dz ao longo da circunferência gamma:|z|=2 no sentido anti-horário. O conteúdo principal é análise complexa, em especial o Teorema dos Resíduos, que nos permite avaliar integrais de funções com polos isolados. Vamos precisar identificar os polos de f(z)=e^zz^2(z-1) dentro de gamma e calcular seus resíduos.

Passo 2

Pelo Teorema dos Resíduos, integralgammaf(z)dz = 2pi isum Res(f,zk), onde zk são os polos de f dentro da curva. Aqui, as singularidades são em z=0 (polo de ordem 2) e em z=1 (polo simples), ambas dentro de |z|<2.

Passo 3

Para o polo simples em z=1, o resíduo é dado por Res(f,1)=limzto1(z-1)e^zz^2(z-1)=e^zz^2|z=1=e.

Passo 4

No polo de ordem 2 em z=0, aplicamos Res(f,0)=11!limzto0ddz[z^2f(z)]. Como z^2f(z)=e^zz-1, definimos g(z)=e^zz-1 e calculamos
g'(z)=ddzl(e^zz-1r)=e^z(z-1)-e^z(z-1)^2=e^z(z-2)(z-1)^2
Avaliando em z=0 obtém-se g'(0)=e^0(-2)(-1)^2=-2, logo Res(f,0)=-2.

Passo 5

Somando os resíduos, Res(f,1)+Res(f,0)=e+(-2)=e-2. Portanto,
integralgammae^zz^2(z-1)dz=2pi i,(e-2)

Resposta

2pi i(e-2)

Exercícios relacionados