Calcule , onde é a circunferência percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral ao longo da circunferência no sentido anti-horário. O conteúdo principal é análise complexa, em especial o Teorema dos Resíduos, que nos permite avaliar integrais de funções com polos isolados. Vamos precisar identificar os polos de dentro de e calcular seus resíduos.
Passo 2
Pelo Teorema dos Resíduos, , onde são os polos de dentro da curva. Aqui, as singularidades são em (polo de ordem 2) e em (polo simples), ambas dentro de .
Passo 3
Para o polo simples em , o resíduo é dado por .
Passo 4
No polo de ordem 2 em z=0, aplicamos Res(f,0)=11!limzto0ddz[z^2f(z)]. Como z^2f(z)=e^zz-1, definimos g(z)=e^zz-1 e calculamos
g'(z)=ddzl(e^zz-1r)=e^z(z-1)-e^z(z-1)^2=e^z(z-2)(z-1)^2
Avaliando em z=0 obtém-se g'(0)=e^0(-2)(-1)^2=-2, logo Res(f,0)=-2.
Passo 5
Somando os resíduos, Res(f,1)+Res(f,0)=e+(-2)=e-2. Portanto,