Ache o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
(d) \sum_{n=1}^{\infty}(-n)^{2 n} x^{2 n}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências (para x real)
\sum_{n=1}^{\infty}(-n)^{2n}x^{2n}.
O que é pedido:
  • Achar o raio de convergência da série.
  • Achar o intervalo de convergência (ou seja, os valores reais de x para os quais a série converge).
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O índice n começa em 1.
  • Os expoentes de x são sempre 2n (aparecem apenas potências pares).
  • Cada termo contém o fator (-n)^{2n}.

Passo 2

Simplificação do termo (-n)^{2n}.
Explicando passo a passo: (-n)^{2n} = ((-1)\cdot n)^{2n} = (-1)^{2n}\cdot n^{2n}. Como 2n é par, temos (-1)^{2n}=1. Portanto
(-n)^{2n}=n^{2n}.
Assim a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2n} x^{2n}.

Passo 3

Organizar a série e escolher o teste para o raio de convergência.
Observação prática: podemos ver cada termo como
a_n := n^{2n} x^{2n} = (n^{2}x^{2})^{n}.
Para séries de potências é habitual usar o teste da raiz (root test) ou a fórmula do raio de convergência
\displaystyle R=\frac{1}{\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|c_k|}},
onde c_k são os coeficientes na escrita \sum_{k=0}^\infty c_k x^k. Aqui os coeficientes são c_{2n}=n^{2n} e c_k=0 para k ímpar. Vou usar o teste da raiz diretamente sobre os termos indexados por n, que é mais simples neste formato.
Lembrete do teste da raiz (forma prática): para uma série \sum b_n define-se
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|b_n|}.
  • Se L<1 a série converge absolutamente.
  • Se L>1 a série diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui tomamos b_n=n^{2n}x^{2n}.

Passo 4

Aplicar o teste da raiz aos termos b_n=n^{2n}x^{2n}.
Calculemos a n-ésima raiz:
\sqrt[n]{|b_n|}=\sqrt[n]{n^{2n}|x|^{2n}}=\big(n^{2}|x|^{2}\big).
Agora vamos ver o comportamento quando n\to\infty:
  • Se |x|>0, então n^{2}|x|^{2}\to\infty quando n\to\infty. Logo \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|b_n|}=+\infty>1. Pelo teste da raiz a série diverge para todo x com |x|>0.
  • Se x=0, todos os termos para n\ge1 são zero e a série converge trivialmente (soma 0).
Portanto não existe intervalo não-trivial de x onde a série converge exceto em x=0.

Passo 5

Conectar com a definição de raio de convergência.
Pela definição usando coeficientes c_k notamos que, para a subsequência k=2n,
\sqrt[2n]{|c_{2n}|}=\sqrt[2n]{n^{2n}}=n.
Como n\to\infty essa quantidade tende a +\infty, o que implica
\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|c_k|}=+\infty.
Aplicando \displaystyle R=\frac{1}{\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|c_k|}} obtemos R=0. Isso confirma o resultado do passo anterior: a série só converge em x tal que |x|<R=0, isto é, somente em x=0.

Passo 6

Resumo intuitivo e conclusão didática.
Intuitivamente: os coeficientes crescem tão rápido (comportamento tipo n^{2n}) que mesmo multiplicando por qualquer potência x^{2n} com x\neq0 a contribuição de cada termo cresce super-exponencialmente, portanto os termos não vão a zero e a série não pode convergir. Só em x=0 os termos são zero e a soma converge.

Resposta

Raio de convergência: R=0
Intervalo de convergência: a série converge somente para x=0.

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