Ache o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
Passo 1
O enunciado dá a série de potências (para
real)
O que é pedido:
- Achar o raio de convergência da série.
- Achar o intervalo de convergência (ou seja, os valores reais de
para os quais a série converge).
Informações importantes extraídas do enunciado:
- O índice
começa em . - Os expoentes de
são sempre (aparecem apenas potências pares). - Cada termo contém o fator
.
Passo 2
Simplificação do termo
.
Explicando passo a passo:
. Como
é par, temos
. Portanto
Assim a série fica
Passo 3
Organizar a série e escolher o teste para o raio de convergência.
Observação prática: podemos ver cada termo como
Para séries de potências é habitual usar o teste da raiz (root test) ou a fórmula do raio de convergência
onde
são os coeficientes na escrita
. Aqui os coeficientes são
e
para
ímpar. Vou usar o teste da raiz diretamente sobre os termos indexados por
, que é mais simples neste formato.
Lembrete do teste da raiz (forma prática): para uma série
define-se
- Se
a série converge absolutamente. - Se
a série diverge. - Se
o teste é inconclusivo.
Aqui tomamos
.
Passo 4
Aplicar o teste da raiz aos termos
.
Calculemos a
-ésima raiz:
Agora vamos ver o comportamento quando
:
- Se
, então quando . Logo . Pelo teste da raiz a série diverge para todo com . - Se
, todos os termos para são zero e a série converge trivialmente (soma ).
Portanto não existe intervalo não-trivial de
onde a série converge exceto em
.
Passo 5
Conectar com a definição de raio de convergência.
Pela definição usando coeficientes
notamos que, para a subsequência
,
Como
essa quantidade tende a
, o que implica
Aplicando
obtemos
. Isso confirma o resultado do passo anterior: a série só converge em
tal que
, isto é, somente em
.
Passo 6
Resumo intuitivo e conclusão didática.
Intuitivamente: os coeficientes crescem tão rápido (comportamento tipo
) que mesmo multiplicando por qualquer potência
com
a contribuição de cada termo cresce super-exponencialmente, portanto os termos não vão a zero e a série não pode convergir. Só em
os termos são zero e a soma converge.
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência: a série converge somente para .
Intervalo de convergência: a série converge somente para