Ache o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} x^{n}}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede: achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} x^{n}}{\sqrt{n}}.
Informações dadas:
  • Os coeficientes da série são a_n=\dfrac{2^{n}}{\sqrt{n}}.
  • A série é centrada em 0 (é uma série em potências de x).
    As perguntas concretas que vamos responder:
  • Qual é o raio de convergência R?
  • Qual é o intervalo de convergência (ou seja, para quais x reais a série converge), incluindo o comportamento nos pontos extremos x=\pm R?

Passo 2

Decidindo o método e relembrando o teste que vou usar.
  • Para determinar o raio de convergência de uma série de potências \sum a_n x^n o caminho padrão é usar o teste da razão (ou o teste da raiz). Esses testes dão o limite que determina R por
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}
ou, pelo teste da razão, se existir o limite L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|, então R=\dfrac{1}{L}.
  • Aqui é simples usar o teste da razão porque os coeficientes têm fator exponencial 2^n que se simplifica bem ao dividir a_{n+1} por a_n. Vou usar o teste da razão e explico a fórmula do teste quando necessário.
Observação didática curta sobre o teste da razão:
  • Para uma série de termos positivos (ou para os módulos dos termos) b_n, se \lim_{n\to\infty} \dfrac{b_{n+1}}{b_n}=L, então:
    • se L<1, a série \sum b_n converge;
    • se L>1, diverge;
    • se L=1, o teste é inconclusivo.
  • No caso da série de potências, aplicamos esse teste aos termos |a_n x^n|=|a_n||x|^n e obtemos a condição em |x|.

Passo 3

Aplicar o teste da razão aos termos |a_n x^n|.
Os termos em módulo são
|a_n x^n|=\frac{2^{n}|x|^{n}}{\sqrt{n}}.
Calculo a razão
\frac{|a_{n+1} x^{n+1}|}{|a_n x^n|} =\frac{\dfrac{2^{n+1}|x|^{n+1}}{\sqrt{n+1}}}{\dfrac{2^{n}|x|^{n}}{\sqrt{n}}} =2|x| \cdot \sqrt{\frac{n}{n+1}}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}2|x|\sqrt{\frac{n}{n+1}}=2|x|\cdot 1=2|x|.
Pelo teste da razão, a série (em módulo) converge se esse limite for menor que 1, isto é, se 2|x|<1.

Passo 4

Determinar o raio de convergência a partir da condição obtida.
A condição de convergência absoluta é
2|x|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\frac{1}{2}.
Portanto o raio de convergência é
R=\frac{1}{2}.
Explicação didática: o raio R é o valor tal que a série converge absolutamente para |x|<R e diverge para |x|>R. Pelo teste da razão encontramos R=1/2.

Passo 5

Agora temos que investigar o comportamento nos pontos extremos |x|=R, ou seja x=\tfrac{1}{2} e x=-\tfrac{1}{2}. Esses pontos precisam ser checados separadamente porque o teste da razão só decide para |x|<R e |x|>R.

Passo 6

Analisar x=\tfrac{1}{2}.
Substituindo x=\tfrac{1}{2} a série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}}{\sqrt{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}.
Esta é a série \sum n^{-1/2}, conhecida como série p de expoente p=\tfrac{1}{2}.
Lembrete didático sobre séries p:
  • A série \sum_{n=1}^\infty n^{-p} converge se e somente se p>1; diverge se p\le 1.
    Aqui p=\tfrac{1}{2}\le 1, logo a série diverge.
    Conclusão: em x=\tfrac{1}{2} a série diverge (não converge nem condicionalmente nem absolutamente).

Passo 7

Analisar x=-\tfrac{1}{2}.
Substituindo x=-\tfrac{1}{2} obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n}}{\sqrt{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}.
Isto é uma série alternada de termos b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} com sinais (-1)^n.
Vou aplicar o teste de Leibniz (teste da série alternada):
  • Se (b_n) é uma sequência positiva, decrescente (a partir de algum n) e com \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série alternada \sum (-1)^n b_n converge.
    Verificações:
  • b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}>0.
  • b_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{n}}=b_n; logo b_n é decrescente.
  • \lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty} n^{-1/2}=0.
    Portanto, pelo teste de Leibniz, a série converge em x=-\tfrac{1}{2}.
    Quanto ao tipo de convergência: a série não converge absolutamente em x=-\tfrac{1}{2} porque \sum |(-1)^n/\sqrt{n}|=\sum 1/\sqrt{n} diverge (como visto no caso x=1/2). Logo a convergência em x=-\tfrac{1}{2} é condicional.

Passo 8

Resumo das conclusões:
  • Raio de convergência: R=\dfrac{1}{2}.
  • Para |x|<\dfrac{1}{2} a série converge absolutamente.
  • Em x=\dfrac{1}{2} a série diverge.
  • Em x=-\dfrac{1}{2} a série converge condicionalmente (converge, mas não absolutamente).

Resposta

Raio de convergência: R=\dfrac{1}{2}
Intervalo de convergência: \left[-\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{2}\right)

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