Ache o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{(2 n)!}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Achar o raio de convergência da série de potências \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{(2 n)!}.
Determinar o intervalo de convergência (isto é, para quais x\in\mathbb{R} a série converge).
Informações dadas:
A série é centrada em 0 (termos são da forma x^n), portanto é uma série de potências com centro c=0.
Os coeficientes da série são a_n=\dfrac{1}{(2n)!} para n\ge1.
Passo 2
Escolhendo um método (explicação didática do porquê): uma maneira padrão e prática de obter o raio de convergência é aplicar o Teste da Razão (Teste de d’Alembert) às séries de potências. O teste da razão para séries \sum a_n x^n diz o seguinte:
Para séries de potências centradas em 0 a condição L<1 normalmente se simplifica para |x|<R, onde R é o raio de convergência que queremos encontrar. Vamos aplicar isso com a_n=\dfrac{1}{(2n)!}.
Passo 3
Calcular a razão dos coeficientes a_{n+1}/a_n. Escrevendo explicitamente os fatoriais:
Interpretação do resultado do Teste da Razão: o limite L é 0, e 0<1. Pelo Teste da Razão, isso significa que a série converge absolutamente para todo x real. Em termos de raio de convergência, isso quer dizer que o raio é infinito:
R=\infty.
Passo 6
Intervalo de convergência: já que R=\infty, a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o intervalo de convergência é
(-\infty,\infty).
Observação didática curta: quando a razão entre coeficientes a_{n+1}/a_n tende a zero suficientemente rápido (aqui como O(1/n^2)), o fator |x| não impede a convergência para qualquer valor de x, daí o raio infinito.
Resposta
Raio de convergência: R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)