Ache o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Achar o raio de convergência da série de potências \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{(2 n)!}.
  • Determinar o intervalo de convergência (isto é, para quais x\in\mathbb{R} a série converge).
Informações dadas:
  • A série é centrada em 0 (termos são da forma x^n), portanto é uma série de potências com centro c=0.
  • Os coeficientes da série são a_n=\dfrac{1}{(2n)!} para n\ge1.

Passo 2

Escolhendo um método (explicação didática do porquê): uma maneira padrão e prática de obter o raio de convergência é aplicar o Teste da Razão (Teste de d’Alembert) às séries de potências. O teste da razão para séries \sum a_n x^n diz o seguinte:
\text{Se }L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{\,n+1}}{a_n x^{\,n}}\right|\quad\text{então}ã
  • se L<1 a série converge absolutamente;
  • se L>1 diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
Para séries de potências centradas em 0 a condição L<1 normalmente se simplifica para |x|<R, onde R é o raio de convergência que queremos encontrar. Vamos aplicar isso com a_n=\dfrac{1}{(2n)!}.

Passo 3

Calcular a razão dos coeficientes a_{n+1}/a_n. Escrevendo explicitamente os fatoriais:
(2(n+1))! = (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)! .
Portanto,
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{1}{(2(n+1))!}}{\dfrac{1}{(2n)!}} = \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do Teste da Razão incluindo o fator x:
\left|\frac{a_{n+1}x^{\,n+1}}{a_n x^{\,n}}\right| = |x|\cdot\frac{a_{n+1}}{a_n} = |x|\cdot\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}.
Tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} |x|\cdot\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}.
Como (2n+2)(2n+1)\to\infty quando n\to\infty, a fração tende a 0. Assim o limite é
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{\,n+1}}{a_n x^{\,n}}\right| = 0
para qualquer x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Interpretação do resultado do Teste da Razão: o limite L é 0, e 0<1. Pelo Teste da Razão, isso significa que a série converge absolutamente para todo x real. Em termos de raio de convergência, isso quer dizer que o raio é infinito:
R=\infty.

Passo 6

Intervalo de convergência: já que R=\infty, a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o intervalo de convergência é
(-\infty,\infty).
Observação didática curta: quando a razão entre coeficientes a_{n+1}/a_n tende a zero suficientemente rápido (aqui como O(1/n^2)), o fator |x| não impede a convergência para qualquer valor de x, daí o raio infinito.

Resposta

Raio de convergência: R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

Exercícios relacionados