Ache o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
Passo 1
O enunciado pede claramente duas coisas sobre a série
:
- Encontrar o raio de convergência
. - Encontrar o intervalo de convergência (isto é, para quais
a série converge).
Informações dadas que vou usar:
- A série é uma série de potências centrada em
(forma ). - Os coeficientes são
(peguei isso do enunciado).
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (explicação detalhada):
- Para uma série de potências
, o raio de convergência pode ser encontrado pela fórmula
O que isso significa, em palavras: calcule
(a raiz
-ésima do valor absoluto dos coeficientes) e veja o comportamento limite superior quando
. Se esse limite superior for
, então os valores de
com
dão convergência absoluta; assim
. Casos especiais: se
então
(a série converge para todo
); se
então
(só converge no ponto
).
Motivação rápida (intuição): a fórmula vem do teste da raiz aplicado ao termo geral
: calcular
e exigir que seja
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso dado:
- Aqui
. Calculo a raiz -ésima:
- Agora faço o limite superior (que é, neste caso, o limite comum):
Portanto
.
Passo 4
Concluo o raio usando a fórmula:
Explicando com calma: o fato de
tender a zero significa que os coeficientes
decaem de forma «exponencialmente forte» (na raiz
tornam-se zero), logo qualquer fator
não impede a convergência — a série converge para todo
.
Passo 5
Verificação alternativa direta (útil na prova): aplicar o teste da raiz ao termo geral da série:
- O termo geral em valor absoluto é
. - A raiz
-ésima desse termo é , e
para qualquer
. Assim a série converge absolutamente para todo
. Isso confirma o resultado anterior de que
.
Dica prática para prova: é útil reescrever o termo como
— isso deixa evidente que, para
grande, o fator
anula qualquer crescimento de
.
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: