Ache o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2 n}}

Passo 1

O enunciado pede claramente duas coisas sobre a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2 n}}:
  • Encontrar o raio de convergência R.
  • Encontrar o intervalo de convergência (isto é, para quais x\in\mathbb{R} a série converge).
Informações dadas que vou usar:
  • A série é uma série de potências centrada em 0 (forma \sum a_n x^n).
  • Os coeficientes são a_n=\dfrac{1}{n^{2n}} (peguei isso do enunciado).

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicação detalhada):
  • Para uma série de potências \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n, o raio de convergência R pode ser encontrado pela fórmula
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
O que isso significa, em palavras: calcule \sqrt[n]{|a_n|} (a raiz n-ésima do valor absoluto dos coeficientes) e veja o comportamento limite superior quando n\to\infty. Se esse limite superior for L, então os valores de x com |x-x_0|<1/L dão convergência absoluta; assim R=1/L. Casos especiais: se L=0 então R=+\infty (a série converge para todo x); se L=+\infty então R=0 (só converge no ponto x_0).
Motivação rápida (intuição): a fórmula vem do teste da raiz aplicado ao termo geral |a_n||x-x_0|^n: calcular \limsup \sqrt[n]{|a_n||x-x_0|^n} = |x-x_0|\limsup\sqrt[n]{|a_n|} e exigir que seja <1.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado:
  • Aqui a_n=\dfrac{1}{n^{2n}}. Calculo a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\dfrac{1}{n^{2n}}}=\dfrac{1}{n^{2}}.
  • Agora faço o limite superior (que é, neste caso, o limite comum):
\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=0.
Portanto \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=0.

Passo 4

Concluo o raio usando a fórmula:
R=\frac{1}{0}=+\infty.
Explicando com calma: o fato de \sqrt[n]{|a_n|} tender a zero significa que os coeficientes a_n decaem de forma «exponencialmente forte» (na raiz n tornam-se zero), logo qualquer fator |x|^n não impede a convergência — a série converge para todo x.

Passo 5

Verificação alternativa direta (útil na prova): aplicar o teste da raiz ao termo geral da série:
  • O termo geral em valor absoluto é \dfrac{|x|^{n}}{n^{2n}}=\left(\dfrac{|x|}{n^{2}}\right)^{n}.
  • A raiz n-ésima desse termo é \dfrac{|x|}{n^{2}}, e
\lim_{n\to\infty}\dfrac{|x|}{n^{2}}=0<1
para qualquer x\in\mathbb{R}. Assim a série converge absolutamente para todo x. Isso confirma o resultado anterior de que R=+\infty.
Dica prática para prova: é útil reescrever o termo como \left(\dfrac{x}{n^{2}}\right)^{n} — isso deixa evidente que, para n grande, o fator \dfrac{1}{n^{2}} anula qualquer crescimento de x.

Resposta

Raio de convergência: R=+\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

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