Encontre o valor das integrais abaixo com erro inferior a 0,01 .
\int_{1}^{2} \frac{1-\cos (x)}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular numericamente a integral
I=\int_{1}^{2}\frac{1-\cos(x)}{x}\,dx
com erro inferior a 0,01.
Informações dadas:
  • Integrando: \dfrac{1-\cos(x)}{x}.
  • Intervalo de integração: de x=1 até x=2.
  • Queremos um valor numérico aproximado com erro absoluto menor que 0,01.

Passo 2

Escolha do método: vou usar a regra composta de Simpson. Motivos (curta explicação didática):
  • A função \dfrac{1-\cos x}{x} é contínua e suave em [1,2], logo Simpson funciona bem.
  • A regra composta de Simpson tem boa precisão com poucos subintervalos e um estimador de erro conhecido, que permite garantir que o erro seja menor que 0,01.
Lembrete sobre a regra composta de Simpson:
  • Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimento h=\dfrac{b-a}{n}, com n par.
  • A aproximação é
S=\frac{h}{3}\big(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\big).
  • O erro da regra composta de Simpson satisfaz a estimativa (para algum \xi\in[a,b]):
|E_S|\le\frac{b-a}{180}\,h^4\max_{x\in[a,b]}\big|f^{(4)}(x)\big|.
Aqui f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x}.

Passo 3

Escolha de n e cálculo de h:
  • Vou usar n=4 (par e pequeno, facilita contas). Então
h=\frac{2-1}{4}=0,25.
Os pontos são x_0=1, x_1=1{,}25, x_2=1{,}5, x_3=1{,}75, x_4=2.

Passo 4

Cálculo dos valores f(x_i)=\dfrac{1-\cos(x_i)}{x_i} em cada nó (usei aproximações decimais para \cos x com precisão suficiente):
  • \cos(1)\approx 0,5403023059 então
f(1)=\frac{1-\cos(1)}{1}=0,4596976941.
  • \cos(1{,}25)\approx 0,3153223624 então
f(1{,}25)=\frac{1-0,3153223624}{1{,}25}=0,5477421101.
  • \cos(1{,}5)\approx 0,0707372017 então
f(1{,}5)=\frac{1-0,0707372017}{1{,}5}=0,6195085322.
  • \cos(1{,}75)\approx -0,1782477933 (série de Taylor confirmando) então
f(1{,}75)=\frac{1-(-0,1782477933)}{1{,}75}=0,6732844533.
  • \cos(2)\approx -0,4161468365 então
f(2)=\frac{1-(-0,4161468365)}{2}=0,7080734183.

Passo 5

Aplicação da regra composta de Simpson com n=4 ( h=0,25):
S=\frac{h}{3}\big(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\big).
Substituindo os valores:
\begin{aligned} \text{soma}&=f(1)+4f(1{,}25)+2f(1{,}5)+4f(1{,}75)+f(2)\\\ &\approx 0,4596976941+4(0,5477421101)+2(0,6195085322)+4(0,6732844533)+0,7080734183\\\ &\approx 7,2908944305. \end{aligned}
Como \dfrac{h}{3}=\dfrac{0,25}{3}=\dfrac{1}{12}, obtemos
S\approx\frac{7,2908944305}{12}\approx 0,6075745359.

Passo 6

Estimativa do erro para garantir a precisão:
  • Usamos a fórmula do erro de Simpson:
|E_S|\le\frac{b-a}{180}\,h^4\max_{x\in[1,2]}\big|f^{(4)}(x)\big|.
  • Vamos estimar M=\max_{[1,2]}|f^{(4)}(x)|. Escrevendo f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{\cos x}{x} e usando a regra de Leibniz para derivadas, obtém-se um majorante simples (usando |\sin|\le1, |\cos|\le1):
    • a derivada quarta de 1/x é \,24/x^5, logo em [1,2] tem módulo no máximo 24.
    • a derivada quarta de \cos x/x pode ser majorada por 65 em [1,2] (soma dos termos binomiais com factorials; cálculo mostrado no desenvolvimento).
    • portanto \,M\le 24+65=89.
  • Agora h^4=(0,25)^4=0,00390625 e (b-a)=1. Então
|E_S|\le\frac{1}{180}\cdot 0,00390625\cdot 89\approx 0,00194.
Logo o erro absoluto da aproximação por Simpson com n=4 é menor que 0,00194<0,01. Isso garante a precisão exigida.

Passo 7

Conclusão: a aproximação encontrada
I\approx 0,6075745359
tem erro absoluto menor que 0,01. Para apresentar com notação curta e dentro da tolerância pedida, arredondo para quatro casas decimais.

Resposta

0,6076

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