Encontre o valor das integrais abaixo com erro inferior a 0,01 . \int_{1}^{2} \frac{1-\cos (x)}{x} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular numericamente a integral
I=\int_{1}^{2}\frac{1-\cos(x)}{x}\,dx
com erro inferior a 0,01.
Informações dadas:
Integrando: \dfrac{1-\cos(x)}{x}.
Intervalo de integração: de x=1 até x=2.
Queremos um valor numérico aproximado com erro absoluto menor que 0,01.
Passo 2
Escolha do método: vou usar a regra composta de Simpson. Motivos (curta explicação didática):
A função \dfrac{1-\cos x}{x} é contínua e suave em [1,2], logo Simpson funciona bem.
A regra composta de Simpson tem boa precisão com poucos subintervalos e um estimador de erro conhecido, que permite garantir que o erro seja menor que 0,01.
Lembrete sobre a regra composta de Simpson:
Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimento h=\dfrac{b-a}{n}, com n par.
Vamos estimar M=\max_{[1,2]}|f^{(4)}(x)|. Escrevendo f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{\cos x}{x} e usando a regra de Leibniz para derivadas, obtém-se um majorante simples (usando |\sin|\le1, |\cos|\le1):
a derivada quarta de 1/x é \,24/x^5, logo em [1,2] tem módulo no máximo 24.
a derivada quarta de \cos x/x pode ser majorada por 65 em [1,2] (soma dos termos binomiais com factorials; cálculo mostrado no desenvolvimento).