Use a série de potências de
para obter a expressão da série de potências da função
.
Passo 1
O enunciado pede: usar a série de potências de
para obter a expressão em série de potências da função
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função inicial cuja série devemos usar é
. - O objetivo é escrever
como uma série de potências (ou seja, somatório em potências de ). - Presume‑se a região de convergência natural para as séries geométricas:
.
Passo 2
Lembrar a série geométrica básica: para qualquer variável
com
vale a identidade
Aqui cada termo
significa
elevado à potência
, e a soma é sobre
. Essa é a série de potências padrão que vamos adaptar ao caso
.
Passo 3
Substituir
na série geométrica (válido quando
, i.e.
):
Explanação rápida: trocando
por
obtemos uma série em potências pares de
:
. Essa série converge para
enquanto
.
Passo 4
Observar que a função desejada é a derivada da função acima: calcular a derivada de
em relação a
.
Derivando a esquerda (regra da cadeia):
Derivando a esquerda (regra da cadeia):
Portanto a função alvo é exatamente a derivada da série conhecida.
Passo 5
Derivar a série do lado direito termo a termo (justificação: dentro do raio de convergência
a série converge uniformemente em intervalos compactos e pode ser diferenciada termo a termo). Diferenciando
obtemos
Nota: o termo correspondente a
é
, então a soma efetiva começa em
, mas manteremos a forma geral e depois reindexaremos para ficar mais limpa.
Passo 6
Como a derivada da esquerda é
e a derivada termo a termo da direita é
, concluímos que, para
,
Reindexar para escrever a série em potências positivas e com índice começando em
. Faça
, então
e
varia de
a
. Substituindo:
Trocando
de volta para
(símbolo de índice é irrelevante), obtemos a forma final:
Passo 7
Conclusão final (série de potências): para
,
Explicação intuitiva: os coeficientes aparecem como
porque derivando
(após reindexação) produz
.