Use a série de potências de \frac{1}{1-x^{2}} para obter a expressão da série de potências da função \frac{2 x}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede: usar a série de potências de \dfrac{1}{1-x^{2}} para obter a expressão em série de potências da função \dfrac{2x}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função inicial cuja série devemos usar é \dfrac{1}{1-x^{2}}.
  • O objetivo é escrever \dfrac{2x}{(1-x^{2})^{2}} como uma série de potências (ou seja, somatório em potências de x).
  • Presume‑se a região de convergência natural para as séries geométricas: |x|<1.

Passo 2

Lembrar a série geométrica básica: para qualquer variável t com |t|<1 vale a identidade
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}.
Aqui cada termo t^{n} significa t elevado à potência n, e a soma é sobre n=0,1,2,\dots. Essa é a série de potências padrão que vamos adaptar ao caso t=x^{2}.

Passo 3

Substituir t=x^{2} na série geométrica (válido quando |x^{2}|<1, i.e. |x|<1):
\frac{1}{1-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}.
Explanação rápida: trocando t por x^{2} obtemos uma série em potências pares de x: 1+x^{2}+x^{4}+\cdots. Essa série converge para \dfrac{1}{1-x^{2}} enquanto |x|<1.

Passo 4

Observar que a função desejada é a derivada da função acima: calcular a derivada de \dfrac{1}{1-x^{2}} em relação a x.
Derivando a esquerda (regra da cadeia):
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x^{2}}\right) = \frac{d}{dx}\bigl(1-x^{2}\bigr)^{-1} = -1\cdot\bigl(1-x^{2}\bigr)^{-2}\cdot(-2x) = \frac{2x}{(1-x^{2})^{2}}.
Portanto a função alvo é exatamente a derivada da série conhecida.

Passo 5

Derivar a série do lado direito termo a termo (justificação: dentro do raio de convergência |x|<1 a série converge uniformemente em intervalos compactos e pode ser diferenciada termo a termo). Diferenciando \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} obtemos
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}\right) =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{d}{dx}\bigl(x^{2n}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty} 2n\,x^{2n-1}.
Nota: o termo correspondente a n=0 é 2\cdot 0\cdot x^{-1}=0, então a soma efetiva começa em n=1, mas manteremos a forma geral e depois reindexaremos para ficar mais limpa.

Passo 6

Como a derivada da esquerda é \dfrac{2x}{(1-x^{2})^{2}} e a derivada termo a termo da direita é \sum_{n=0}^{\infty} 2n\,x^{2n-1}, concluímos que, para |x|<1,
\frac{2x}{(1-x^{2})^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} 2n\,x^{2n-1}.
Reindexar para escrever a série em potências positivas e com índice começando em 0. Faça m=n-1, então n=m+1 e m varia de 0 a \infty. Substituindo:
\sum_{n=1}^{\infty} 2n\,x^{2n-1} = \sum_{m=0}^{\infty} 2(m+1)\,x^{2(m+1)-1} = \sum_{m=0}^{\infty} 2(m+1)\,x^{2m+1}.
Trocando m de volta para n (símbolo de índice é irrelevante), obtemos a forma final:

Passo 7

Conclusão final (série de potências): para |x|<1,
\frac{2x}{(1-x^{2})^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} 2(n+1)\,x^{2n+1}.
Explicação intuitiva: os coeficientes aparecem como 2(n+1) porque derivando x^{2n+2} (após reindexação) produz 2(n+1)x^{2n+1}.

Resposta

\frac{2x}{(1-x^{2})^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} 2(n+1)\,x^{2n+1},\qquad |x|<1

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