Ache o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^{n}}{n(n+1)}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em -2
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^{n}}{n(n+1)}
O que é pedido:
  • Achar o raio de convergência R.
  • Determinar o intervalo de convergência (ou seja, todos os x para os quais a série converge, incluindo ou não os extremos).
Informações relevantes que temos:
  • Coeficientes da série (em potência de (x+2)^n) são a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}.
  • A série é uma série de potências com centro c=-2.

Passo 2

Lembrete e escolha do método para o raio: para uma série de potências
\sum_{n=1}^\infty a_n (x-c)^n
o raio de convergência R é dado por
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Isto vem da versão geral do teste da raiz para séries de potências. Aqui é natural usar essa fórmula porque os a_n são explícitos e fáceis de analisar em termos da raiz enésima.

Passo 3

Aplicando a fórmula com a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}. Primeiro calculemos
|a_n|^{1/n}=\left(\frac{1}{n(n+1)}\right)^{1/n}=\frac{1}{\bigl(n(n+1)\bigr)^{1/n}}=\frac{1}{n^{1/n}(n+1)^{1/n}}.
Sabemos o fato limite fundamental (pode decorar ou justificar rapidamente): \displaystyle\lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1. Pela mesma razão \lim_{n\to\infty}(n+1)^{1/n}=1. Portanto
\lim_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}= \frac{1}{1\cdot 1}=1.
Assim \limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=1.

Passo 4

Usando a fórmula do raio,
R=\frac{1}{1}=1.
Isto significa que a série converge absolutamente para todos os x tais que |x+2|<1, ou seja no intervalo aberto (-3,-1). Agora precisamos verificar cada extremo x=-3 e x=-1 separadamente para saber se são incluídos.

Passo 5

Verificação em x=-1. Substituindo x=-1 temos x+2=1 e a série torna-se a série numérica
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}.
Essa série é telescópica porque
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.
Somando os primeiros N termos:
\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{N+1}\xrightarrow[N\to\infty]{}1.
Logo a série converge (e, além disso, é de termos positivos — logo converge absolutamente). Portanto x=-1 pertence ao conjunto de convergência.

Passo 6

Verificação em x=-3. Substituindo x=-3 temos x+2=-1 e a série torna-se
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(n+1)}.
Para verificar convergência absoluta, considere a série dos módulos:
\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n(n+1)}\right|=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}.
Mas essa última é exatamente a série telescópica do Passo 5, que converge. Como a série converge em termos absolutos, ela converge (mesmo sem necessidade do teste de Leibniz). Portanto x=-3 também pertence ao conjunto de convergência.

Passo 7

Conclusão combinando tudo: o raio de convergência é R=1 e tanto o extremo esquerdo quanto o direito convergem, logo o intervalo de convergência é o intervalo fechado [-3,-1].

Resposta

R=1
Intervalo de convergência: [-3,-1]

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