Ache o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^{n}}{n(n+1)}
Passo 1
O enunciado dá a série de potências centrada em -2
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^{n}}{n(n+1)}
O que é pedido:
Achar o raio de convergência R.
Determinar o intervalo de convergência (ou seja, todos os x para os quais a série converge, incluindo ou não os extremos).
Informações relevantes que temos:
Coeficientes da série (em potência de (x+2)^n) são a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}.
A série é uma série de potências com centro c=-2.
Passo 2
Lembrete e escolha do método para o raio: para uma série de potências
\sum_{n=1}^\infty a_n (x-c)^n
o raio de convergência R é dado por
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Isto vem da versão geral do teste da raiz para séries de potências. Aqui é natural usar essa fórmula porque os a_n são explícitos e fáceis de analisar em termos da raiz enésima.
Passo 3
Aplicando a fórmula com a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}. Primeiro calculemos
Sabemos o fato limite fundamental (pode decorar ou justificar rapidamente): \displaystyle\lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1. Pela mesma razão \lim_{n\to\infty}(n+1)^{1/n}=1. Portanto
Isto significa que a série converge absolutamente para todos os x tais que |x+2|<1, ou seja no intervalo aberto (-3,-1). Agora precisamos verificar cada extremo x=-3 e x=-1 separadamente para saber se são incluídos.
Passo 5
Verificação em x=-1. Substituindo x=-1 temos x+2=1 e a série torna-se a série numérica
Mas essa última é exatamente a série telescópica do Passo 5, que converge. Como a série converge em termos absolutos, ela converge (mesmo sem necessidade do teste de Leibniz). Portanto x=-3 também pertence ao conjunto de convergência.
Passo 7
Conclusão combinando tudo: o raio de convergência é R=1 e tanto o extremo esquerdo quanto o direito convergem, logo o intervalo de convergência é o intervalo fechado [-3,-1].