Ache o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}(x-3)^{n}}{n+3}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Achar o raio de convergência da série de potências \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}(x-3)^{n}}{n+3}.
  • Determinar o intervalo de convergência (ou seja, os valores de x para os quais a série converge).
Informações fornecidas:
  • A série é centrada em x=3.
  • Os coeficientes da potência são c_n=\dfrac{2^{n}}{n+3}, ou seja a série tem a forma \sum_{n=0}^\infty c_n (x-3)^n.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (passo didático curto):
  • Para séries de potências é usual usar o teste da raiz (ou o teste da razão) para encontrar o raio de convergência. Vou usar o teste da raiz porque os termos têm fator 2^{n}(x-3)^{n} e a raiz n-ésima simplifica bem.
  • Lembrete do teste da raiz: para uma série \sum a_n calcula-se \rho=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
    • Se \rho<1 a série converge absolutamente.
    • Se \rho>1 a série diverge.
    • Se \rho=1 o teste é inconclusivo.
  • Para uma série de potências \sum c_n (x-a)^n, o raio de convergência R satisfaz
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}
(essa fórmula vem de aplicar o teste da raiz aos termos c_n (x-a)^n). Aqui c_n=\dfrac{2^{n}}{n+3}.

Passo 3

Cálculo do \limsup das raízes dos coeficientes e do raio R:
\sqrt[n]{\bigg|\frac{2^{n}}{n+3}\bigg|}=\frac{2}{(n+3)^{1/n}}.
Tomando limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{2}{(n+3)^{1/n}}=2\cdot\lim_{n\to\infty}(n+3)^{-1/n}=2\cdot 1=2,
pois \lim_{n\to\infty}(n+3)^{1/n}=1.
Portanto \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=2, e pelo que foi dito sobre R,
R=\frac{1}{2}.

Passo 4

Expressão do conjunto interior de convergência (intervalo aberto):
  • A condição de convergência absoluta pelo teste da raiz dá
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{2^{n}(x-3)^{n}}{n+3}\right|}=2|x-3|<1.
  • Assim a região onde há convergência absoluta é |x-3|<\tfrac{1}{2}.
  • Em termos de intervalo em \mathbb{R} isso é
\left(\,3-\tfrac{1}{2},\;3+\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{5}{2},\;\tfrac{7}{2}\right).
Agora é preciso testar os dois endpoints \,x=3\pm\tfrac{1}{2}\,.

Passo 5

Teste do endpoint direito x=3+\tfrac{1}{2}=\tfrac{7}{2}:
  • Substituindo em (x-3) obtemos (x-3)=\tfrac{1}{2}. O termo geral vira
\frac{2^{n}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}}{n+3}=\frac{1}{n+3}.
  • A série correspondente é \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+3}. Essa é uma série harmônica deslocada (índice shift): \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n+3}=\sum_{k=3}^\infty\frac{1}{k}, e sabe-se que a série harmônica \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k} diverge. Logo \sum_{k=3}^\infty\frac{1}{k} também diverge.
  • Conclusão: em x=\tfrac{7}{2} a série diverge (não converge nem condicionalmente nem absolutamente).

Passo 6

Teste do endpoint esquerdo x=3-\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}:
  • Agora (x-3)=-\tfrac{1}{2}. O termo geral é
\frac{2^{n}\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n}}{n+3}=\frac{(-1)^{n}}{n+3}.
  • A série é \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{n+3}. Aplicando o teste de Leibniz (teste da série alternada): se os termos b_n=\dfrac{1}{n+3} são positivos, monótonos decrescentes e tendem a 0, então \sum (-1)^n b_n converge.
    • Verificação: b_n=\dfrac{1}{n+3} é positivo para todo n, é decrescente em n (porque n+3 cresce) e \lim_{n\to\infty} b_n=0. Logo as hipóteses do teste são satisfeitas.
  • Portanto a série converge em x=\tfrac{5}{2}.
  • Verificação de convergência absoluta: a série das normas é \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n+3}, que já vimos diverge. Logo a convergência em x=\tfrac{5}{2} é condicional (não é absoluta).

Resposta

R=\dfrac{1}{2}
Intervalo de convergência: \displaystyle \left[\tfrac{5}{2},\;\tfrac{7}{2}\right)

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