Ache o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências. \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}(x-3)^{n}}{n+3}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Achar o raio de convergência da série de potências \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}(x-3)^{n}}{n+3}.
Determinar o intervalo de convergência (ou seja, os valores de x para os quais a série converge).
Informações fornecidas:
A série é centrada em x=3.
Os coeficientes da potência são c_n=\dfrac{2^{n}}{n+3}, ou seja a série tem a forma \sum_{n=0}^\infty c_n (x-3)^n.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (passo didático curto):
Para séries de potências é usual usar o teste da raiz (ou o teste da razão) para encontrar o raio de convergência. Vou usar o teste da raiz porque os termos têm fator 2^{n}(x-3)^{n} e a raiz n-ésima simplifica bem.
Lembrete do teste da raiz: para uma série \sum a_n calcula-se \rho=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Se \rho<1 a série converge absolutamente.
Se \rho>1 a série diverge.
Se \rho=1 o teste é inconclusivo.
Para uma série de potências \sum c_n (x-a)^n, o raio de convergência R satisfaz
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}
(essa fórmula vem de aplicar o teste da raiz aos termos c_n (x-a)^n). Aqui c_n=\dfrac{2^{n}}{n+3}.
Passo 3
Cálculo do \limsup das raízes dos coeficientes e do raio R:
A série correspondente é \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+3}. Essa é uma série harmônica deslocada (índice shift): \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n+3}=\sum_{k=3}^\infty\frac{1}{k}, e sabe-se que a série harmônica \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k} diverge. Logo \sum_{k=3}^\infty\frac{1}{k} também diverge.
Conclusão: em x=\tfrac{7}{2} a série diverge (não converge nem condicionalmente nem absolutamente).
Passo 6
Teste do endpoint esquerdo x=3-\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}:
A série é \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{n+3}. Aplicando o teste de Leibniz (teste da série alternada): se os termos b_n=\dfrac{1}{n+3} são positivos, monótonos decrescentes e tendem a 0, então \sum (-1)^n b_n converge.
Verificação: b_n=\dfrac{1}{n+3} é positivo para todo n, é decrescente em n (porque n+3 cresce) e \lim_{n\to\infty} b_n=0. Logo as hipóteses do teste são satisfeitas.
Portanto a série converge em x=\tfrac{5}{2}.
Verificação de convergência absoluta: a série das normas é \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n+3}, que já vimos diverge. Logo a convergência em x=\tfrac{5}{2} é condicional (não é absoluta).
Resposta
R=\dfrac{1}{2}
Intervalo de convergência: \displaystyle \left[\tfrac{5}{2},\;\tfrac{7}{2}\right)