Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
Pede determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}.
Informação dada: o coeficiente geral da série é a_n=\dfrac{n!}{n^{n}}.
Objetivo: achar todos os x\in\mathbb{R} (ou complexos, se preferir) para os quais a série converge.
Nada mais é fornecido; vamos achar o raio de convergência e testar os extremos.
Passo 2
Escolha do método e porque: vou usar o teste da razão para séries de potências (método padrão e direto aqui). Explicando o teste de forma didática: para uma série de potências \sum a_n x^n, se existir
Determinação do raio de convergência e intervalo interior:
Pelo argumento do teste da razão para séries de potências, o raio de convergência é
R=\frac{1}{L}=\frac{1}{e^{-1}}=e.
Isto significa que a série converge absolutamente para |x|<e (ou seja, para x\in(-e,e)) e diverge para |x|>e. Ainda resta verificar os pontos extremos x=e e x=-e.
Passo 5
Teste dos extremos x=e e x=-e:
Avaliar o termo geral quando x=e:
t_n=\frac{n!}{n^{n}} e^{n}.
Para decidir se a série converge em x=e precisamos verificar se t_n\to 0 (condição necessária). Usamos a fórmula assintótica de Stirling (uma ferramenta padrão para crescimento de n!):
Logo t_n cresce como \sqrt{2\pi n} quando n\to\infty, em particular t_n\not\to 0. Assim a série não pode convergir em x=e (falha a condição necessária). Portanto diverge em x=e.
Para x=-e o módulo dos termos é o mesmo, |t_n|=\sqrt{2\pi n} assintoticamente, então também |t_n|\not\to0 e a série diverge em x=-e (não importa o sinal alternado — os termos em módulo aumentam sem limite).
Passo 6
Conclusão final e interpretação:
O raio de convergência é R=e.
A série converge absolutamente para todos os x com |x|<e.
Em x=\pm e a série diverge, pois os termos gerais não tendem a zero.
Portanto o intervalo de convergência é o intervalo aberto (-e,e). Vai dar tudo certo na prova — memorize: usar a razão aqui foi a forma mais direta!