Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}.
  • Informação dada: o coeficiente geral da série é a_n=\dfrac{n!}{n^{n}}.
  • Objetivo: achar todos os x\in\mathbb{R} (ou complexos, se preferir) para os quais a série converge.
    Nada mais é fornecido; vamos achar o raio de convergência e testar os extremos.

Passo 2

Escolha do método e porque: vou usar o teste da razão para séries de potências (método padrão e direto aqui). Explicando o teste de forma didática: para uma série de potências \sum a_n x^n, se existir
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,
então a série converge absolutamente sempre que |x|\,L<1, ou seja |x|<1/L. Por isso o raio de convergência é
R=\frac{1}{L}
(se L=0 então R=\infty, se L=\infty então R=0). É um jeito prático de encontrar R sem cálculos muito pesados.

Passo 3

Cálculo do limite das razões dos coeficientes:
Começamos calculando \dfrac{a_{n+1}}{a_n} para a_n=\dfrac{n!}{n^{n}}.
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}}{\dfrac{n!}{n^{n}}} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}\cdot\frac{n^{n}}{n!} = \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Observando que
\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}
e sabendo o limite clássico \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e, obtemos
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}=e^{-1}.
Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=e^{-1}.

Passo 4

Determinação do raio de convergência e intervalo interior:
Pelo argumento do teste da razão para séries de potências, o raio de convergência é
R=\frac{1}{L}=\frac{1}{e^{-1}}=e.
Isto significa que a série converge absolutamente para |x|<e (ou seja, para x\in(-e,e)) e diverge para |x|>e. Ainda resta verificar os pontos extremos x=e e x=-e.

Passo 5

Teste dos extremos x=e e x=-e:
Avaliar o termo geral quando x=e:
t_n=\frac{n!}{n^{n}} e^{n}.
Para decidir se a série converge em x=e precisamos verificar se t_n\to 0 (condição necessária). Usamos a fórmula assintótica de Stirling (uma ferramenta padrão para crescimento de n!):
n!\sim \sqrt{2\pi n}\,\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\quad\text{quando }n\to\infty.
Substituindo na expressão de t_n obtemos o comportamento assintótico
t_n=\frac{n!}{n^{n}} e^{n}\sim \frac{\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^{n}}{n^{n}}\,e^{n} = \sqrt{2\pi n}.
Logo t_n cresce como \sqrt{2\pi n} quando n\to\infty, em particular t_n\not\to 0. Assim a série não pode convergir em x=e (falha a condição necessária). Portanto diverge em x=e.
Para x=-e o módulo dos termos é o mesmo, |t_n|=\sqrt{2\pi n} assintoticamente, então também |t_n|\not\to0 e a série diverge em x=-e (não importa o sinal alternado — os termos em módulo aumentam sem limite).

Passo 6

Conclusão final e interpretação:
  • O raio de convergência é R=e.
  • A série converge absolutamente para todos os x com |x|<e.
  • Em x=\pm e a série diverge, pois os termos gerais não tendem a zero.
    Portanto o intervalo de convergência é o intervalo aberto (-e,e). Vai dar tudo certo na prova — memorize: usar a razão aqui foi a forma mais direta!

Resposta

(-e,e)

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