Ache o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em zero
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n}}{n!},
e pede duas coisas:
  • o raio de convergência da série (o valor de R tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R);
  • o intervalo de convergência (ou seja, para quais x\in\mathbb{R} a série converge).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Os coeficientes da série são c_{n}=\dfrac{1}{n!}.
  • A série é uma série de potências em torno de 0, pois os termos são c_{n}x^{n}.

Passo 2

Lembrete útil (definição e testes que vou usar):
  • Para uma série de potências \sum c_{n}x^{n} o raio de convergência R pode ser encontrado por uma destas fórmulas usuais: R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_{n}|}}ou, quando o limite existe, R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right|.Essas fórmulas vêm das formas do teste da raiz e do teste da razão aplicados à série de potências.
  • Alternativamente, para verificar diretamente a convergência para um x fixo, pode-se aplicar o teste da razão (d’Alembert) à sequência de termos a_{n}=\dfrac{x^{n}}{n!}: se L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|<1,então a série converge; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.
Vou usar a segunda fórmula para o raio (porque \dfrac{c_{n}}{c_{n+1}} é simples aqui) e depois mostrar diretamente pelo teste da razão que, para qualquer x, a série realmente converge.

Passo 3

Calcular R usando \displaystyle R=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{c_{n}}{c_{n+1}}\right| quando o limite existe.
Aqui c_{n}=\dfrac{1}{n!}. Então
\frac{c_{n}}{c_{n+1}}=\frac{\dfrac{1}{n!}}{\dfrac{1}{(n+1)!}}=n+1.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{c_{n}}{c_{n+1}}=\lim_{n\to\infty}(n+1)=+\infty.
Portanto, pela fórmula, o raio de convergência é
R=+\infty.
Interpretação: raio infinito significa que a série converge para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Verificação direta pelo teste da razão (útil didaticamente): examine os termos a_{n}=\dfrac{x^{n}}{n!} para x fixo (real).
Calcule
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}\right| =\left|\frac{x}{n+1}\right|=\frac{|x|}{n+1}.
Tomando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n+1}=0.
Como 0<1, o teste da razão garante que, para qualquer x fixo, a série converge absolutamente. Isso confirma que a convergência ocorre para todos os x\in\mathbb{R}.
Explicação intuitiva: o fatorial n! cresce muito mais rápido que qualquer potência x^{n}, então os termos vão para zero muito depressa e a soma converge.

Passo 5

Observações e exemplos rápidos para fixar:
  • Comparação com a série geométrica \sum x^{n} (coeficientes c_{n}=1): aí \dfrac{c_{n}}{c_{n+1}}=1 e R=1. Já na nossa série os coeficientes têm n! no denominador, que faz c_{n} decair muito mais rápido, levando a R=+\infty.
  • Em muitas provas de análise, a série \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!} é usada como definição alternativa da função exponencial e^{x}; essa série converge para todo x.

Resposta

Raio de convergência: R=+\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

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