Ache uma série de potências que represente as funções e seus respectivos intervalos de convergências.
l(x)=\frac{1}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma série de potências que represente a função l(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}} e indicar o(s) intervalo(s) de convergência dessa série. Informação dada:
  • A função é l(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
  • Não foi dado outro centro, então vamos buscar a série de potências centrada em 0 (série de Maclaurin).

Passo 2

Ferramenta básica que vamos usar: a série geométrica. A fórmula e a condição de validade são:
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}\quad\text{se, e somente se,}\quad |r|<1.
Aqui r é a variável da série geométrica (pode ser número ou expressão em x). A ideia é ver se a função dada pode ser escrita na forma \dfrac{1}{1-r} para algum r que dependa de x.

Passo 3

Reescrevendo l(x) para usar a fórmula geométrica: note que
\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{1}{1-(-x^{2})}.
Logo podemos aplicar a série geométrica com r=-x^{2}. Substituindo:
\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x^{2})^{n}.
Agora simplificamos a potência:
(-x^{2})^{n}=(-1)^{n}x^{2n}.
Portanto a série de potências centrada em 0 é
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}.
Escrevendo os primeiros termos para ficar mais concreto:
1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + \cdots.

Passo 4

Explicando o significado dos símbolos nesta série: o índice n é um inteiro não negativo que enumera os termos; x é a variável da função; cada termo é um monômio de grau 2n com coeficiente (-1)^{n}. Esta é uma série de potências em x (cada termo é a_{n}x^{n}, aqui há zeros nos coeficientes dos expoentes ímpares).

Passo 5

Determinação do intervalo de convergência usando a condição da série geométrica. Como aplicamos a fórmula com r=-x^{2}, a condição |r|<1 vira
|-x^{2}|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|^{2}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<1.
Portanto a série converge para todo x tal que |x|<1, ou seja no intervalo aberto (-1,1).

Passo 6

Teste dos extremos x=\pm1 (muito importante na prova): substituindo x=1 na série obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\cdot 1^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}.
Os termos dessa série não tendem a zero (os termos são 1,-1,1,-1,\dots), logo a série diverge. O mesmo ocorre para x=-1 porque (-1)^{2n}=1 e a série também vira \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}, que diverge. Conclusão: os extremos não pertencem ao conjunto de convergência.

Passo 7

Verificação alternativa (ratio test) para confirmar o raio de convergência: seja a_{n}=(-1)^{n}x^{2n}. Então
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{|x|^{2n+2}}{|x|^{2n}}=|x|^{2}.
Pelo teste da razão, a série converge se |x|^{2}<1, ou seja |x|<1. Isso confirma o raio de convergência R=1.

Passo 8

Resumo prático para a prova (como usar rápido): ao ver \dfrac{1}{1+x^{2}}, identifique r=-x^{2} na série geométrica e escreva a expansão \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}. Lembre-se sempre de checar |r|<1 para achar o intervalo |x|<1, e testar explicitamente x=\pm1 se pedirem o intervalo fechado.

Resposta

\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots
Intervalo de convergência: (-1,1)

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