Considere a equação diferencial linear nāo homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=8 e^{t}
a) ( 0,8 \mathrm{pt} ) Encontre a soluçāo geral da equaçāo homogênea associada.
b) (1,2 pt) Encontre uma soluçāo particular da equaçāo nāo homogênea.
c) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Escreva a soluçāo geral da equação diferencial não homogênea.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=8e^{t},
e pede:
  • (a) encontrar a solução geral da equação homogênea associada;
  • (b) encontrar uma solução particular da equação não homogênea;
  • (c) escrever a solução geral da equação não homogênea.
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficientes constantes na equação linear de segunda ordem.
  • Termo não homogêneo é 8e^{t}.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada: primeiro escrevo a homogênea
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=0.
A técnica padrão aqui é tentar soluções da forma y(t)=e^{rt}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^{2}-2r+1=0.
Agora resolvo essa equação quadrática: note que ela é um quadrado perfeito,
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0,
portanto a raiz é r=1 com multiplicidade 2.
Regra importante (explicação didática): se a equação característica tem uma raiz real r de multiplicidade m, então as soluções independentes associadas são e^{rt},\; t e^{rt},\; t^{2}e^{rt},\dots,t^{m-1}e^{rt}. Isso garante m soluções linearmente independentes para cobrir a ordem m da raiz repetida.
Aplicando isso aqui (raiz r=1, multiplicidade 2), a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=\bigl(C_{1}+C_{2}t\bigr)e^{t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora vamos procurar uma solução particular y_{p} da equação não homogênea. Método usado: coeficientes indeterminados (explicação didática e motivo):
  • Quando o termo for uma combinação de funções simples (polinômios, exponenciais, senos/cossenos), tenta-se um ansatz com a mesma forma mas com coeficientes a determinar.
  • Se o ansatz coincide com alguma solução da homogênea, há ressonância: é preciso multiplicar o ansatz por t^{s}, onde s é a multiplicidade da raiz correspondente na equação característica.
Aqui o termo forçado é 8e^{t}. O ansatz simples seria y_{p}=A e^{t}. Mas e^{t} aparece na solução homogênea e, além disso, a raiz r=1 tem multiplicidade 2. Então precisamos multiplicar por t^{2}. Portanto escolho
y_{p}(t)=A\,t^{2}e^{t},
com A constante a determinar.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_{p} passo a passo. Começando por
y_{p}(t)=A\,t^{2}e^{t}.
Usando a regra do produto (derivada de t^{2}\cdot e^{t}):
Primeira derivada:
y_{p}^{\prime}(t)=A\bigl(2t e^{t}+t^{2}e^{t}\bigr)=A e^{t}\bigl(t^{2}+2t\bigr).
Segunda derivada: derivar A e^{t}(t^{2}+2t),
y_{p}^{\prime\prime}(t)=A\bigl(e^{t}(t^{2}+2t)+e^{t}(2t+2)\bigr)=A e^{t}\bigl(t^{2}+4t+2\bigr).
Essas expressões estão detalhadas para evitar qualquer salto de cálculo.

Passo 5

Substituo y_{p},y_{p}^{\prime},y_{p}^{\prime\prime} no lado esquerdo da equação diferencial e simplifico:
\begin{aligned} y_{p}^{\prime\prime}-2y_{p}^{\prime}+y_{p} &=A e^{t}\bigl(t^{2}+4t+2\bigr)-2A e^{t}\bigl(t^{2}+2t\bigr)+A e^{t}t^{2}\\[4pt] &=A e^{t}\Bigl(t^{2}+4t+2-2t^{2}-4t+t^{2}\Bigr)\\[4pt] &=A e^{t}\cdot 2\\[4pt] &=2A e^{t}. \end{aligned}
Vimos que todos os termos que dependem de t cancela­ram, sobrando apenas 2A e^{t}.
Queremos que isso seja igual ao termo não homogêneo 8e^{t}. Assim
2A e^{t}=8e^{t}\quad\Rightarrow\quad 2A=8\quad\Rightarrow\quad A=4.
Portanto a solução particular é
y_{p}(t)=4t^{2}e^{t}.]

Passo 6

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=\bigl(C_{1}+C_{2}t\bigr)e^{t}+4t^{2}e^{t}.
Podemos fatorar e^{t} se quisermos uma forma mais compacta:
y(t)=e^{t}\bigl(C_{1}+C_{2}t+4t^{2}\bigr),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias real.

Resposta

(a) y_{h}(t)=\bigl(C_{1}+C_{2}t\bigr)e^{t}
(b) y_{p}(t)=4t^{2}e^{t}
(c) y(t)=e^{t}\bigl(C_{1}+C_{2}t+4t^{2}\bigr)

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