Considere a equação diferencial linear nāo homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
a) (
) Encontre a soluçāo geral da equaçāo homogênea associada.
b) (1,2 pt) Encontre uma soluçāo particular da equaçāo nāo homogênea.
c) (
) Escreva a soluçāo geral da equação diferencial não homogênea.
b) (1,2 pt) Encontre uma soluçāo particular da equaçāo nāo homogênea.
c) (
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede:
- (a) encontrar a solução geral da equação homogênea associada;
- (b) encontrar uma solução particular da equação não homogênea;
- (c) escrever a solução geral da equação não homogênea.
Informações relevantes fornecidas:
- Coeficientes constantes na equação linear de segunda ordem.
- Termo não homogêneo é
.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada: primeiro escrevo a homogênea
A técnica padrão aqui é tentar soluções da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
Agora resolvo essa equação quadrática: note que ela é um quadrado perfeito,
portanto a raiz é
com multiplicidade
.
Regra importante (explicação didática): se a equação característica tem uma raiz real
de multiplicidade
, então as soluções independentes associadas são
. Isso garante
soluções linearmente independentes para cobrir a ordem
da raiz repetida.
Aplicando isso aqui (raiz
, multiplicidade
), a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora vamos procurar uma solução particular
da equação não homogênea. Método usado: coeficientes indeterminados (explicação didática e motivo):
- Quando o termo for uma combinação de funções simples (polinômios, exponenciais, senos/cossenos), tenta-se um ansatz com a mesma forma mas com coeficientes a determinar.
- Se o ansatz coincide com alguma solução da homogênea, há ressonância: é preciso multiplicar o ansatz por
, onde é a multiplicidade da raiz correspondente na equação característica.
Aqui o termo forçado é
. O ansatz simples seria
. Mas
aparece na solução homogênea e, além disso, a raiz
tem multiplicidade
. Então precisamos multiplicar por
. Portanto escolho
com
constante a determinar.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
passo a passo. Começando por
Usando a regra do produto (derivada de
):
Primeira derivada:
Segunda derivada: derivar
,
Essas expressões estão detalhadas para evitar qualquer salto de cálculo.
Passo 5
Substituo
no lado esquerdo da equação diferencial e simplifico:
Vimos que todos os termos que dependem de
cancelaram, sobrando apenas
.
Queremos que isso seja igual ao termo não homogêneo
. Assim
Portanto a solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular:
Podemos fatorar
se quisermos uma forma mais compacta:
com
constantes arbitrárias real.
Resposta
(a)
(b)
(c)